《概率统计4.3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率统计4.3（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、概 率 统 计,4.4 大数定律与中心极限定理,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,设随机变量 X 的期望E(X)与方差 D(X) 存在，则对于任意实数 0,1. 切比雪夫不等式,或,29. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率 .,解
2、：设每毫升白细胞数为X,依题意，E(X)=7300,D(X)=7002,所求为 P(5200 X 9400),P(5200 X 9400),=P(5200-7300 X-7300 9400-7300),= P(-2100 X-E(X) 2100),= P( |X-E(X)| 2100),由切比雪夫不等式,P( |X-E(X)| 2100),即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不小于8/9 .,2. 大数定律,大量的随机现象中平均结果的稳定性,大数定律的客观背景：,大量抛掷硬币 正面出现频率,贝努里大数定律,设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数, p 是每次试验中
3、 A 发生的概率, 则,有,或,在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率 “稳定于”事件A在一次试验中发生的概率,在 n 足够大时, 可以用频率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.,贝努里大数定律的意义,切比雪夫大数定律,且具有相同的数学期望和方差,或,当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.,具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.,近似代替,可被,定理的意义,3. 中心极限定理,中心极限定理的客观背景:,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所
4、起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,设随机变量序列,独立同一分布, 且有期望和方差：,则对于任意实数 x ,定 理 一,林德伯格-列维中心极限定理, 独立同分布的中心极限定理 ,注,即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似 于标准正态随机变量的分布函数,记,近似,近似服从,它表明:当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.,设 Y n B( n , p) , 0 p 1, n = 1,2,则对任一实数 x，有,Y n N (np , np(1-p) (近似),定 理 二,棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理, 二项分布以正态分布为极限分布 ,即 n 足够大时，,例 某单位有200台电话分机，每台分机使用外线的概率为0.2, 假定每台分机是相互独立的，问要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证分机用外线时不等待？,解：设有X部分机同时使用外线，则有,设有N条外线。由题意有,由德莫佛-拉普拉斯定理有,由中心极限定理,近似,31.一保险公司有10000人投保，每人付18元保险费，已知投保人出意外率为0.006.若出意外公司赔付2500元.求保险公司亏本 的概率.,解,设X为投保的10000人中出意外的人数,则,由中心极限定理,
