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1、第 1 页（共 30 页）三角形全等综合证明试题三角形全等综合证明试题一解答题（共一解答题（共 13 小题）小题） 1 （2015于洪区一模）如图 1，在ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连 接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF （1）如果 AB=AC，BAC=90， 当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合） ，如图 2，线段 CF、BD 所在直线的位置关系 为 ，线段 CF、BD 的数量关系为 ； 当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 3，中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果 ABAC，BAC 是锐角，点 D 在线段
2、BC 上，当ACB 满足什么条件时， CFBC（点 C、F 不重合） ，并说明理由2 （2013烟台）已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与 A，B 重合） ，分 别过 A，B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为斜边 AB 的中点 （1）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 ，QE 与 QF 的 数量关系式 ； （2）如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给 予证明； （3）如图 3，当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？ 请画出图形
3、并给予证明第 2 页（共 30 页）3 （2013昭通）已知ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、C 重合） ，以 AD 为边作菱形 ADEF（A、D、E、F 按逆时针排列） ，使DAF=60，连 接 CF （1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD； （2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？ 若不成立，请写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，当点 D 在边 CB 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 AC、CF、C
4、D 之间存在的数量关系4 （2013东营） （1）如图（1） ，已知：在ABC 中，BAC=90，AB=AC，直线 m 经过 点 A，BD直线 m，CE直线 m，垂足分别为点 D、E 证明：DE=BD+CE （2）如图（2） ，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中 为任意锐角或钝角请问结论 DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由 （3）拓展与应用：如图（3） ，D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合） ，点 F 为BAC 平分线上的一点，且A
5、BF 和ACF 均为等边三角形，连接 BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF 的形状5 （2014泰安）如图，ABC=90，D、E 分别在 BC、AC 上，ADDE，且 AD=DE，点 F 是 AE 的中点，FD 与 AB 相交于点 M （1）求证：FMC=FCM； （2）AD 与 MC 垂直吗？并说明理由第 3 页（共 30 页）6 （2011绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况探索结论 当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与的 DB 大小关系请你直接写出结论： AE DB（填“”， “”或“=”）
6、（2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE DB（填“”， “”或“=”） 理由如 下： 如图 2，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F， （请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC若ABC 的 边长为 1，AE=2，求 CD 的长（请你直接写出结果） 7 （2010临沂）如图 1，已知矩形 ABED，点 C 是边 DE 的中点，且 AB=2AD （1）判断ABC 的形状，并说明理由； （2）保持图 1 中ABC 固定不变，绕点 C 旋转 DE 所在的直线
7、MN 到图 2 中（当垂线段 AD、BE 在直线 MN 的同侧） ，试探究线段 AD、BE、DE 长度之间有什么关系？并给予证 明； （3）保持图 2 中ABC 固定不变，继续绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 3 中的位置 （当垂线段 AD、BE 在直线 MN 的异侧） 试探究线段 AD、BE、DE 长度之间有什么关系？ 并给予证明第 4 页（共 30 页）8 （2014郑州二模）如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边ABC 边 AB、BC 上的动 点，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s， （1）连接 AQ、CP 交于点 M，
8、则在 P、Q 运动的过程中，CMQ 变化吗？若变化，则说 明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时PBQ 是直角三角形？ （3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP 交点 为 M，则CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数9 （2014德州）问题背景： 如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F 分别是 BC，CD 上的点且EAF=60探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DG=BE连结 AG，先证明ABE ADG，再证
9、明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 ；探索延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+D=180E，F 分别是 BC，CD 上的点，且EAF= BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30的 A 处，舰艇乙在指挥 中心南偏东 70的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向 正东方向以 60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80 海里/小时的速度前 进.1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70，试求此时两
10、舰艇之间的距离10 （2015前郭县二模） （1）问题发现 如图 1，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE第 5 页（共 30 页）填空：AEB 的度数为 ；线段 AD，BE 之间的数量关系为 （2）拓展探究 如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90，点 A，D，E 在同一直 线上，CM 为DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断AEB 的度数及线段 CM，AE，BE 之间的数量关系，并说明理由11 （2014齐齐哈尔）在等腰直角三角形 ABC 中，BAC=90，AB=AC，直线 MN 过点 A 且 MNBC，过点 B 为
11、一锐角顶点作 RtBDE，BDE=90，且点 D 在直线 MN 上（不 与点 A 重合） ，如图 1，DE 与 AC 交于点 P，易证：BD=DP （无需写证明过程） （1）在图 2 中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明； 如果不成立，请说明理由； （2）在图 3 中，DE 与 AC 延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你的结论， 无需证明12 （2009沈阳）将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图方式摆放，其中 ACB=DEB=90，A=D=30，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F （1）求
12、证：AF+EF=DE； （2）若将图中的DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ，且 060，其它条件不变， 请在图中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立； （3）若将图中的DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ，且 60180，其它条件不 变，如图你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立， 请写出 AF、EF 与 DE 之间的关系，并说明理由第 6 页（共 30 页）13 （2008宁德）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点， 且 DF=BE （1）求证：CE=CF； （2）在图 1 中，若 G 在
13、 AD 上，且GCE=45，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？ （3）运用（1） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图 2，在直角梯形 ABCD 中，ADBC（BCAD） ，B=90，AB=BC=12，E 是 AB 上一 点，且DCE=45，BE=4，求 DE 的长第 7 页（共 30 页）三角形全等综合证明试题三角形全等综合证明试题参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题（共一解答题（共 13 小题）小题） 1 （2015于洪区一模）如图 1，在ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连 接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF （
14、1）如果 AB=AC，BAC=90， 当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合） ，如图 2，线段 CF、BD 所在直线的位置关系 为 垂直 ，线段 CF、BD 的数量关系为 相等 ； 当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 3，中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果 ABAC，BAC 是锐角，点 D 在线段 BC 上，当ACB 满足什么条件时， CFBC（点 C、F 不重合） ，并说明理由【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有 【专题】压轴题；开放型 【分析】 （1）当点 D 在 BC 的延长线上时的结论仍成立由正方形 ADEF 的性质可推出 DABFAC，所以 CF
15、=BD，ACF=ABD结合BAC=90，AB=AC，得到 BCF=ACB+ACF=90即 CFBD （2）当ACB=45时，过点 A 作 AGAC 交 CB 的延长线于点 G，则GAC=90，可推出 ACB=AGC，所以 AC=AG，由（1）可知 CFBD 【解答】证明：（1）正方形 ADEF 中，AD=AF， BAC=DAF=90， BAD=CAF， 又AB=AC， DABFAC， CF=BD，B=ACF， ACB+ACF=90，即 CFBD 当点 D 在 BC 的延长线上时的结论仍成立 由正方形 ADEF 得 AD=AF，DAF=90 度 BAC=90， DAF=BAC， DAB=FAC， 又AB=AC，第 8 页（共 30 页）DABFAC， CF=BD，ACF=ABD BAC=90，AB=AC， ABC=45， ACF=45， BCF=ACB+ACF=90 度 即 CFBD（2）当ACB=45时，CFBD（如图） 理由：过点 A 作 AGAC 交 CB 的延长线于点
