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1、第 5 讲 概率与概率分布,5.1 基本概念（自学） 5.2 离散型概率分布 5.3 连续型概率分布学习目的： 掌握概率的基础知识 掌握随机变量概率分布特征，熟悉几种常见的离散型概率分布和连续型概率分布,序 言,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,序 言,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,自然界和社会发生的现象可分为两类：一类现象在一定条件下发生具有必然性，称为确定性现象。如向上抛一石子必然下落，异性电荷必相互吸引等等；另一类现象则在一定条件下发生具有不确定性，
2、如用同一门炮向同一目标多次射击（或抛硬币 ），各次弹着点不尽相同，但这些弹着点却按照一定规律分布。这种在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性就是统计规律性。 这种在个别试验中呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象。 概率论和数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门科学。,5.1 基本概念,5.1.1 随机试验、随机事件和样本空间 5.1.2 随机事件的概率 5.1.3 概率的性质和运算法则 5.1.4 条件概率与事件的独立性 5.1.5 全概公式与逆概公式,5.1.1随机试验、随机事件和样本空间 一、随机试验(experiment),对一个或多个试验
3、对象进行一次观察或测量的过程，称为一次试验。如： 掷一颗骰子，观察其出现的点数 从一副52张扑克牌中抽取一张，并观察其结果(纸牌的数字或花色) 掷一枚均匀硬币，观察其出现正面或反面的情况 从一批次品率为p的产品中随机抽出一个，观察其是正品还是次品,2.试验的特点 可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果 一般把具有上面特点的试验称为随机试验。,二、随机事件(event),试验的结果称为事件。由于在随机试验中，某一结果可能出现也可能不出现，因此称为随机事件。如从一副扑克牌中随机机抽取一张，这
4、是一次随机试验，抽得扑克牌的结果事先无法确定（是黑桃A还是红桃K）。这些结果就是随机事件。 2.在概率中，随机事件通常用大写字母A，B，C，表示,简单事件：不能被分解成其他事件组合的基本事件 抛一枚均匀硬币，“出现正面”和“出现反面” 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示 掷一颗骰子出现的点数小于7 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示 掷一颗骰子出现的点数大于7,三、简单事件、必然事件、不可能事件,四、 样本空间与样本点,样本空间 一个试验中所有结果（简单事件）的集合，是一个必然事件，用表示 样本点 样本空间中每一个特定的试验结果 用符号表示 例如：在掷一颗骰子的试验中，样本空间
5、表示为：1,2,3,4,5,6 在投掷硬币的试验中，正面，反面 一场足球比赛， 胜，平，输,5.1.2 事件的概率,概率是指随机事件发生的可能性大小的度量值。 事件A的概率是一个介于0和1之间的一个值，用以度量试验完成时事件A发生的可能性大小， 记为P(A) 客观概率（古典概率和统计概率）和主观概率,3.客观概率和主观概率,（1）客观概率（古典概率和统计概率） 古典概率：古典概率具有如下两个特征：（1）试验的基本事件总数是有限的，即试验的样本空间包含有限多个样本点；（2）每个基本事件（样本点）出现的可能性相同。在古典概率中，事件A所包含的基本事件个数（m）与其样本空间中基本事件总数（n）的比值
6、称为事件A的概率。记为：,例1：设一个袋子中装有白球2个，黑球3个，从中随机摸出1只球，问刚好是白球的概率有多大？ 解：摸出任何一只球都形成一个基本事件，所以样本基本事件总数n=5。A表示摸出的是白球事件，则A由两个基本事件，即A=白球，白球，m=2,例2：设有100件产品，其中有5件次品。现从这100件中任取2件，求抽到的两件均为合格品的概率是多少？抽到的两件均为次品品的概率是多少？,统计概率：若在相同条件下重复进行n次试验中，事件A发生了m次，若试验次数n很大时，事件A发生的频率m/n稳定地在某一常数P上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数的增加而缩小，则定义p为事件A发生的概率，
7、记为：,统计概率实际上是历史上同类事物发生的稳定的频率。如通过大量观察，古今中外大量新生男性婴儿：女性婴儿=107：100。再比如某企业卖出5000台电脑就有40台返修，则该企业电脑返修的概率为0.8% 。,例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率， 随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率 稳定在1/2左右,3.主观概率,是观察者根据相关信息及个人经验、知识等对某一事件可能发生的可能性给出的一个主观判断。 主观概率有两个特点：一是主观概率大小依赖于观察者，对于同一事件，不同的人可能给出不同的概率；二是前人经验、自己知识及其对事件的分析都是作出判断的根据。 如每年年底，一些经济学家对来年
8、GDP做出的个人判断和预测。乐观者认为可增长10% 以上，悲观者则认为8%以下。又如股票的成交就是因为有人认为股票价格上升而买进，有人认为股票价格要下跌而卖出。,5.1.3 概率的性质和运算法则,互斥事件及其概率 在试验中，两个事件有一个发生时，另一个就不能发生，则称事件A与事件B是互斥事件,(没有公共样本点),互斥事件的文氏图,(例题分析),【例】在一所城市中随机抽取600个家庭，用以确定拥有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下事件：A：600个家庭中恰好有265个家庭拥有电脑B： 600个家庭中恰好有100个家庭拥有电脑C： 600个家庭中特定户张三家拥有电脑说明下列各对事件是否为互斥事件，
9、并说明你的理由(1) A与B (2) A与C (3) B与 C,(例题分析),解：(1) 事件A与B是互斥事件。因为你观察 到恰好有265个家庭拥有电脑，就 不可能恰好有100个家庭拥有电脑(2) 事件A与C不是互斥事件。因为张三也许正是这265个家庭之一，因而事件与有可能同时发生(3) 事件B与C不是互斥事件。理由同(2),(例题分析),【例】同时抛掷两枚硬币，并考察其结果。恰好有一枚正面朝上的概率是多少？,解：用H表示正面，T表示反面，下标1和2表示硬币1 和硬币2。该项试验会有4个互斥事件之一发生(1) 两枚硬币都正面朝上，记为H1H2 (2) 1号硬币正面朝上而2号硬币反面朝上，记为H
10、1T2 (3) 1号硬币反面朝上而2号硬币正面朝上，记为T1H2 (4) 两枚硬币都是反面朝上，记为 T1T2,(例题分析),解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个简单事件中每一事件发生的相对频数(概率)将近似等于1/4。因为仅当H1T2或T1H2发生时，才会恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件H1T2或T1H2又为互斥事件，两个事件中一个事件发生或者另一个事件发生的概率便是1/2(1/4+1/4)。因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概率等于H1T2或T1H2发生的概率，也就是两种事件中每个事件发生的概率之和,互斥事件的加法规则 (add
11、ition law), 加法规则 若两个事件A与B互斥，则事件A发生或事件B发生的概率等于这两个事件各自的概率之和，即 P(AB) =P(A)+P(B) 事件A1，A2，An两两互斥，则有P(A1A2 An) =P(A1)+P(A2) +P(An),(例题分析),解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得,【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率,概率的性质,非负性 对任意事件A，有 P 0 规范性 一个事件的概率是一个介于0与1之间的值，即对于任意事件 A，有
12、0 P 1 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即P ( )=1； P( )=0 可加性 若A与B互斥，则P(AB) =P(A)+P(B) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，An，有P( A1A2 An) = P(A1)+P(A2)+P(An),事件的补及其概率,事件的补事件A不发生的事件，称为事件A的补事件(或称逆事件)，记为A 。它是样本空间中所有不属于事件A的样本点的集合。事件A与其补事件是两个互斥事件（也称为不相容事件）,A, A,P(A)=1- P(A),例：袋中装有白球1个，黑球4个，每次从中随机摸出1只球，并换入1只黑球。连续进行，问第三次摸到黑球的概率有多大？,广义加法公
13、式, 广义加法公式对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) 在互斥事件中， P(AB) =0 P(AB) = P(A) + P(B),两个事件的并,两个事件的交,广义加法公式 (事件的并或和), 事件A或事件B发生的事件，称为事件A与事件B的并。它是由属于事件A或事件B的所有样本点的集合，记为AB或A+B,广义加法公式 (事件的交或积), 事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合，记为BA 或AB,广义加法公式 (例题分析),解
14、：设 A =员工离职是因为对工资不满意B =员工离职是因为对工作不满意依题意有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15 P(A+B)= P(A)+ P(B)- P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55,【例】一家计算机软件开发公司的人事部门最近做了一项调查，发现在最近两年内离职的公司员工中有40%是因为对工资不满意，有30%是因为对工作不满意，有15%是因为他们对工资和工作都不满意。求两年内离职的员工中，离职原因是因为对工资不满意、或者对工作不满意、或者二者皆有的概率,5.1.4 条件概率与事件的独立性,前述概率问题在定义试验时没有附加任何特殊条件，称为无条件概
15、率。 但有时经常遇到某个事件已经发生了，来求与之相关的另一个事件发生的概率，称为条件概率。 例如，一家饮料公司准备推出一种新的饮料，为估计新饮料的市场销售前景，公司先在几家超市试销，效果良好。那么公司有理由认为新饮料在整个市场销售有良好的销售效果。令A=新饮料在整个市场销售良好；B =新饮料试销情况良好。现在公司想要估计在新饮料试销情况良好的条件下，它在整个市场上销售良好的概率有多大？即在B事件发生的条件下，A事件发生的概率？这就是条件概率。,一.条件概率, 在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，称为已知事件B时事件A的条件概率，记为P(A|B),(例题分析),解：设 A =顾客购买食品，
16、 B =顾客购买其他商品依题意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35,【例】一家超市所作的一项调查表明，有80%的顾客到超市是来购买食品，60%的人是来购买其他商品，35%的人既购买食品也购买其他商品。求：(1)已知某顾客购买食品的条件下，也购买其他商品的概率(2)已知某顾客购买其他的条件下，也购买食品的概率,(例题分析),【例】一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示从这200个配件中任取一个进行检查，求(1) 取出的一个为正品的概率(2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率(3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率,(例题分析),解：设 A = 取出的一个为正品 B = 取出的一个为供应商甲供应的配件 (1) (2)(3) (4),
