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1、,一、齐次点坐标,定义,有穷远点,无穷远点,非齐次,齐次坐标,关系,齐次坐标,1. 一维齐次点坐标,(x1, x2) (x20),x,x = x1 / x2,(x1, 0) (x10),(1).,Pl 都有齐次坐标 (x1, x2)； 反之，(x1, x2) (x12+x220)， 都对应唯一一点 Pl； (0, 0)不是任何点的齐次坐标。,(2).,0R，(x1, x2) 与 (x1, x2) 是 l 上同一点的齐次坐标；因此，l上每个点都有无穷多个齐次坐标； 同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数。,(3).,原点：(0, x2) 或 (0, 1)；无穷远点：(x1, 0) 或
2、(1, 0)。,齐次坐标,可视为两直线 l1 和 l2 的交点，即,P 为通常点,P 为无穷远点,设直线方程为：,2. 二维齐次点坐标,齐次坐标,(1). 当P 为通常点，,设 P(x, y)， 则,令,从而 x : y : 1=x1 : x2 : x3。于是，可以把与 (x, y, 1) 成比例的任何有序实数组 (x1, x2, x3) 作为点 P 的齐次坐标。,2. 二维齐次点坐标,齐次坐标,则,2. 二维齐次点坐标,齐次坐标,(2). 当 P=P，l1 / l2，即 P 为 l1, l2 方向上的无穷远点，此时,我们把 任何与 (x1, x2, 0) 成比例的实数组作为直线l1, l2
3、方向上的无穷远点 P 的齐次坐标。,由于 A1:A2= B1:B2 ，则A1:B1= A2:B2 =1: k，其中 k 是直线为 l1, l2 方向的斜率，于是 x1:x2= 1:k。,如果直线不平行于 y 轴，则其无穷远点的其次坐标为 (1,k,0), 特别地有 x 轴上的无穷远点的其次坐标为 (1,0,0)。当直线平行于 y 轴时，可合理地取 (0, x2, 0) (x20) 为其无穷远点的齐次坐标。,有穷远点,方向为 k =x2/x1 的无穷远点,非齐次,齐次坐标,关系,y 轴上的无穷远点,(x, y),x = x1 / x3, y = x2 / x3,(x1, x2, x3) (x30
4、),(x1, x2, 0) (x10),(k=x2/x1),(0, x2, 0) (x20),无穷远点,齐次坐标,我们有：,注意：原点的其次坐标为 (0,0,1)。,二、直线的齐次坐标方程,在齐次坐标下，直线的方程为,此方程称为直线的齐次方程.,过原点的直线的齐次方程为u1x1+u2x2=0 (u12+u220)。 x 轴的齐次方程为 x2=0； y 轴的齐次方程为x1=0； l的齐次方程为 x3=0。,齐次坐标,定义,将直线 l：,中的系数称为 l 的齐次线坐标，,y 轴：,x 轴：,过原点的直线：,思考：以上这些直线的齐次坐标分别与哪些点的齐次坐标相同（忽略括号差别）？,记作u1,u2,u
5、3。,齐次坐标,无穷远直线：,三、齐次线坐标,设在仿射平面 上给定了点 x 的齐次坐标 (x1, x2, x3) 、直线 u 的其次坐标为 u1, u2, u3，则直线 u 经过点 x ,四、点的齐次方程,在齐次坐标下，称以上一次齐次方程 为点 x=(x1, x2, x3) 的齐次方程。,齐次坐标,原点：,x 轴上的无穷远点：,一般无穷远点：,y 轴上的无穷远点：,其中,五、有关齐次坐标的基本结论,(1). 两点 a, b 重合 ,(1) . 两直线a, b重合 ,(2). 相异两点 a, b 连线方程为,坐标为,齐次坐标,(3). 相异三点 a,b,c 共线 ,(4). 点 c 在相异两点
6、a,b 连线上 点 c 的齐次坐标可表示为 la+mb (l2+m20)。,(3) . 相异三直线 a,b,c 共点 ,(4) . 直线 c 经过相异两直线 a,b 交点 直线 c 的齐次坐标可表示为 la+mb (l2+m20)。,注：三点(直线) a, b, c 不共线(点) 上述矩阵满秩.,齐次坐标,(5). 相异三点 a,b,c 共线 存在 p,q,r (pqr0) 使得,(5) . 相异三直线 a,b,c 共点 存在 p,q,r (pqr0) 使得,(6). 相异三点 a,b,c 共线 可适当选取其齐次坐标，使得,(6) . 相异三直线 a,b,c 共点 可适当选取其齐次坐标, 使得
7、,a+b+c=0 或 c=a+b。,a+b+c=0 或 c=a+b。,pa+qb+rc=0.,pa+qb+rc=0.,齐次坐标,(7). 设 a,b,c 为平面上不共线三点. 则平面上任一点 d 的坐标可表为d=la+mb+nc (l2+m2+n20).,(7) . 设 a,b,c 为平面上不共点三直线，则平面上任一直线 d 的坐标可表为d=la+mb+nc (l2+m2+n20).,(8). 设 a,b,c,d 为平面上无三点共线的四点，则可适当选取 a,b,c,d 的坐标，使得a+b+c+d=0 或 d=a+b+c.,(8) . 设 a,b,c,d 为平面上无三线共点的四直线，则可适当选取 a,b,c,d 的坐标，使得a+b+c+d=0 或 d=a+b+c.,齐次坐标,
