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1、1,第十章 群与环,主要内容 群的定义与性质 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域,2,半群、独异点与群的定义 半群、独异点、群的实例 群中的术语 群的基本性质,10.1 群的定义与性质,3,半群、独异点与群的定义,定义10.1 (1) 设V=是代数系统，为二元运算，如果运算是可结合的，则称V为半群. (2) 设V=是半群，若eS是关于运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点V 记作 V=. (3) 设V=是独异点，eS关于运算的单位元，若aS，a1S，则称V是群. 通常将群记作G.,4,实例,例1 (1) ,都是半群，+是普通加 法. 这些半群中除外都是独异点 (
2、2) 设n是大于1的正整数，和都是半群，也都是独异点，其中+和分别表示矩阵加法和矩阵乘法 (3) 为半群，也是独异点，其中为集合对称差运算 (4) 为半群，也是独异点，其中Zn=0,1,n1，为模n加法,5,例2 设G= e, a, b, c ，G上的运算由下表给出，称为Klein 四元群 ,实例,特征： 1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素,6,有关群的术语,定义10.2 (1) 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无 限群. 群G 的基数称为群 G 的阶，有限群G的阶记作|G|. (2) 只含单位元的群称为平凡
3、群. (3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝 尔 (Abel) 群.,实例： 和是无限群，是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. 是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.,7,定义10.3 设G是群，aG，nZ，则a 的 n次幂. ,群中元素的幂,群中元素可以定义负整数次幂. 在中有 23 = (21)3 = 13 = 111 = 0 在中有(2)3 = 23 = 2+2+2 = 6,8,元素的阶,定义10.4 设G是群，aG，使得等式 ak=e 成立的最小正整数 k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为
4、 k 阶元. 若不存在这样的正 整数 k，则称 a 为无限阶元.,例如，在中，2和4是3阶元，3是2阶元，1和5是6阶元，0是1阶元. 在中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.,9,群的性质：幂运算规则,定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) aG，(a1)1=a (2) a,bG，(ab)1=b1a1 (3) aG，anam = an+m，n, mZ (4) aG，(an)m = anm，n, mZ (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.,证 (1) (a1)1是a1的逆元，a也是a1的逆元. 根据逆元唯一 性，等式得证. (2) (b1a1)(ab)= b1(
5、a1a)b = b1b = e, 同理 (ab)( b1a1)=e， 故b1a1是ab的逆元. 根据逆元的唯一性等式得证.,10,群的性质：方程存在惟一解,定理10.2G为群，a,bG，方程ax=b和ya=b在G中有解且 仅有惟一解.,例3 设群G=，其中为对称差. 解下列群方程： aX=，Ya,b=b 解 X=a1=a=a，Y=ba,b1=ba,b=a,证 a1b 代入方程左边的x 得 a(a1b) = (aa1)b = eb = b 所以a1b 是该方程的解. 下面证明惟一性. 假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有c = ec = (a1a)c = a1(ac) = a1b 同理
6、可证ba1是方程 ya=b的惟一解.,11,群的性质：消去律,定理10.3 G为群，则G中适合消去律，即对任意a,b,cG 有 (1) 若 ab = ac，则 b = c. (2) 若 ba = ca，则 b = c. 证明略,12,群的性质：元素的阶,定理10.4 G为群，aG且 |a| = r. 设k是整数，则 (1) ak = e当且仅当r | k (2 )|a1| = |a|,13,实例,例 5 设G是群，a,bG是有限阶元. 证明 (1) |b1ab| = |a| (2) |ab| = |ba|,证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有 从而有t | r. 另一方面
7、，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.,14,实例,(2) 设 |ab| = r，|ba| = t，则有 由消去律得 (ab)t = e，从而可知，r | t. 同理可证 t | r. 因此 |ab| = |ba|.,15,10.2 子群与群的陪集分解,定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作HG. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作HG.,例如 nZ (n是自然数) 是整数加群 的子群. 当n1时, nZ是Z的真子群. 对任何群G都存在子群. G和e
8、都是G的子群，称为G的平凡 子群.,16,子群判定定理1,定理10.5（判定定理一） 设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当 (1) a,bH有abH (2) aH有a1H.,证 必要性是显然的. 为证明充分性，只需证明eH. 因为H非空，存在aH. 由条件(2) 知a1H，根据条件(1) aa1H，即eH.,17,子群判定定理2,定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,bH 有ab1H.,证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在aH. 根据给定条件得aa1H，即eH. 任取aH, 由e,aH 得 ea1H，即a1H. 任取a,
9、bH，知b1H. 再利用给定条件得a(b1) 1H，即 abH. 综合上述，可知H是G的子群.,18,子群判定定理3,定理10.7 （判定定理三） 设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当 a,bH有abH.,证 必要性显然. 为证充分性，只需证明 aH有a1H. 任取aH, 若a = e, 则a1 = eH. 若ae，令S=a,a2,，则SH. 由于H是有穷集，必有ai = aj（i1，由此得 a ji1a = e 和 a a ji1 = e 从而证明了a1 = a ji1H.,19,典型子群的实例:生成子群,定义10.6 设G为群，aG，令H=ak| kZ， 则H是G的子群，
10、称为由 a 生成的子群，记作.,证 首先由a知道. 任取am,al，则 am(al)1 = amal = aml 根据判定定理二可知G. 实例： 例如整数加群，由2生成的子群是 =2k | kZ=2Z 中，由2生成的子群=0,2,4 Klein四元群 G = e,a,b,c的所有生成子群是：=e, =e,a, =e,b, =e,c.,20,典型子群的实例:中心C,定义10.7 设G为群,令C=a| aGxG(ax=xa)， 则C是G的子群，称为G的中心.,证 eC. C是G的非空子集. 任取a,bC，只需证明ab1与G 中所有的元素都可交换. xG，有 (ab1)x = ab1x = ab1(
11、x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理二可知CG. 对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都可交换，G的中 心就等于G. 但是对某些非交换群G，它的中心是e.,21,典型子群的实例:子群的交,例6 设G是群，H,K是G的子群. 证明 (1) HK也是G的子群 (2) HK是G的子群当且仅当 HK 或 KH,22,图1,定义10.8 设G为群, 令L(G) = H | H是G的子群 则偏序集称为G的子群格,子群格,实例： Klein四元群的子群格如下：,23,陪集定义与实例,定义10.9 设H是G的子群
12、，aG.令 Ha=ha | hH 称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.,例7 (1) 设G=e,a,b,c是Klein四元群，H=是G的子群. H所有的右陪集是： He=e,a=H, Ha=a,e=H, Hb=b,c, Hc=c,b 不同的右陪集只有两个，即H和b,c.,24,实例,(2) 设A=1,2,3，f1, f2, , f6是A上的双射函数. 其中f1=,， f2=,f3=,， f4=,f5=,， f6=, 令 G = f1, f2, , f6，则G 关于函数的复合运算构成群. 考虑 G 的子群H=f1, f2. 做出 H 的全体右陪集如下：Hf1=f1f1, f2f
13、1=H , Hf2=f1f2, f2f2=H Hf3=f1f3, f2f3=f3, f5, Hf5=f1f5, f2f5=f5, f3Hf4=f1f4, f2f4=f4, f6, Hf6=f1f6, f2f6=f6, f4 结论： Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6. ,25,陪集的基本性质,定理10.8 设H是群G的子群，则 (1) He = H (2) aG 有aHa 证 (1) He = he | hH = h | hH = H (2) 任取 aG，由a = ea 和 eaHa 得 aHa,26,定理10.9 设H是群G的子群，则a,bG有 aHb ab1H Ha=Hb,陪集
14、的基本性质,证 先证aHb ab1HaHb h(hHa=hb) h(hHab1=h) ab1H 再证 aHb Ha=Hb. 充分性. 若Ha=Hb，由aHa 可知必有 aHb. 必要性. 由 aHb 可知存在 hH 使得 a =hb，即b =h1a 任取 h1aHa，（根据陪集的定义h1 H）则有 h1a = h1(hb) = (h1h)bHb 从而得到 Ha Hb. 反之，任取h1bHb，则有 h1b = h1(h1a) = (h1h1)aHa 从而得到Hb Ha. 综合上述，Ha=Hb得证.,27,定理10.10 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：a,bG, R ab1H 则 R是G上的等价关系，且aR = Ha.,陪集的基本性质,证 先证明R为G上的等价关系. 自反性. 任取aG，aa1 = eH R 对称性. 任取a,bG，则 Rab1H(ab1)1Hba1HR 传递性. 任取a,b,cG，则 RR ab1Hbc1H ac1H R 下面证明：aG，aR = Ha. 任取bG，（p123等价类） baR R ab1H Ha=Hb bHa （TH10.9）,
