《数字信号处理第三版第3章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字信号处理第三版第3章（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、目 录,引言 离散傅里叶变换的定义及物理意义 离散傅里叶变换的基本性质 频率域采样 DFT 的应用举例,3.0 引言,傅里叶(Fourier,1768年3月21日1830年5月16日) 法国数学家和物理学家，他最著名的成就是研究了傅里叶级数，傅里叶变换也以他命名。,1822年当选为科学院秘书，发表热的分析理论一文。在文中首次提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，从而奠定了傅里叶级数(FS)与傅里叶变换(FT)的理论基础。二者后被统称为傅里叶分析(FA)。为了使FA应用于工程实际，人们又提出了离散傅里叶变换(DFT)，但因计算量太大而在较长时间内并未得到广泛应用，直到1965年美国Coo1
2、y和Tukey两人提出快速傅里叶变换(FFT)之后，FA才真正从理论走向实践，成为大家爱不释手的一种数学工具。 1830年5月16日病逝于巴黎。,1768年3月21日傅里叶生于法国荣纳省欧塞尔。其父亲是裁缝，且很早就父母双亡，小时候在天主教受的教育。毕业后在军队中教授数学。1795年他到巴黎高等师范教书。1798年随拿破仑东征，任下埃及的总督。1801年，远征军失败后回到法国，任伊泽尔省长官。,傅里叶分析公式关系,CTPS-FS,x(t),X(n0),Continuous Time Aperiodic Signals Continuous Time Fourier Transform Cont
3、inuous Time Periodic Signals Continuous Time Fourier Series Discrete Time Periodic Signals Discrete Time Fourier Series Discrete Time Aperiodic Signals Discrete Time Fourier Transform,四种傅里叶分析的公式,CTPS：,CTAS：,DTPS：,DTAS：,四种傅里叶分析的图解（动画演示）,规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必对应另一个域的非周期。,傅里叶变换对的数据如果连续或无限，则不适合在计算
4、机上运算。从数值计算的角度出发，我们感兴趣的是时域及频域都离散且有限的情况，这就是我们本章要研究的离散傅里叶变换。,本章内容：离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，简称DFT)是数字信号处理中非常重要的一种数学变换，除了在理论上相当重要之外，因其存在有效的快速算法，故在各种数字信号处理的算法中起核心作用。本章主要讨论DFT的定义和物理意义、DFT的基本性质、频率域采样和DFT的应用举例。,离散傅里叶变换,3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义,离散傅里叶变换定义为：对有限长序列的傅里叶变换进行等频率间隔取样。,定义：指数因子（又称旋转因子或加权因子）,例：已知序
5、列x(n)=(n)，求它的N点DFT。已知序列 ，求它的N点DFT。,下面推导离散傅里叶变换逆变换公式,式中m是哑变量，对每个确定的n值，当mn时后项分式值为0，当m=n时，后项分式值为N,DFT与DTFT和Z变换的关系,结论： DFT是有限长序列x(n)的傅里叶变换在区间0，2上的N点等间隔采样；DFT是对有限长序列x(n) 进行Z变换后在单位圆上进行等间隔采样的采样值 。,DFT与Z变换和DTFT关系图解说明,DFT与Z变换和DTFT关系举例说明,DFT的隐含周期性,X(k)的周期性是WN k具有周期性。X(k)的周期性可理解为对X(z)在Z平面单位圆上进行等间隔采样的循环。,根据傅里叶分
6、析的周期离散性或非周期连续性可知：一个域的离散对应另一个域的周期延拓。,结论： DFT中x(n)与X(k)都是长为N点的有限长序列，存在一一对应关系。 DFT中各有限长序列可作为周期序列的一个周期，隐含周期性。 DFT变换实现了信号在时域和频域中的离散与有限，开辟了数字技术在频域处理信号的新途径，推进了信号处理向更深更广的领域发展。,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,3.2.1 线性性质,设有两个有限长序列，长度分别为N1和N2，若：则y(n)的N点（N max(N1，N2 ) ）DFT为：,其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。,例 : 已知,求其10点 I D
7、FT。,3.2.2 循环移位性质,循环(圆周)移位：一个长为N的有限长序列的圆周移位定义为：,将x(n)以N 为周期进行周期延拓，将得到的序列右移m位，此时移出主值区间的序列值又依次从左侧进入主值区间。故可想象为：将序列x(n)逆排在一个N 等分的圆周上，序列右移，圆周逆转（同方向移动）。过程演示：圆周移位,时域圆周移位定理：时域圆周移位，则频域移相。,频域圆周移位定理：频域圆周移位，则在时域调制。,3.2.3 循环卷积定理,循环(圆周)卷积：设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M ，则 h(n)和x(n)的L点圆周卷积定义为：式中 L max(N，M ),循环卷积的计算： 补0对齐；一顺
8、一反；反排顺转；相乘相加。 分别取 n = 0, 1, 2, 即得全部y(n)值。 循环卷积的计算的过程演示：圆周卷积与线性卷积,说明：圆周卷积本身并无实际的物理意义，但满足卷积定理。当满足一定条件时可以用圆周卷积实现线性卷积，故在计算机中，借助圆周卷积可提高线性卷积的运算速度。,循环卷积定理,3.2.4 复共轭序列的DFT,应用：如果x(n)是实序列，则X(k)圆周共轭对称，求X(k)时只要知道一半数目的X(k)即可。,3.2.5 DFT的共轭对称性,任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对称分量xep(n)和共轭反对称分量xop(n)之和：x(n)=xep(n)+xop(n),共轭对称序列
9、xep(n)定义为:,共轭反对称序列xop(n)定义为:,DFT的共轭对称性,若x(n)的实部及虚部是xr(n)及xi(n) ，即：x(n)= xr(n)+jxi(n) 则：,其中：X(k)的共轭对称分量,X(k)的共轭反对称分量,如果 x(n) = xep(n) + xop(n) 则：,其中：,3.3 频率域采样,设任意序列x(n)存在Z变换,且X(z)的收敛域包含单位圆。,2）将X(k)进行IDFT得到长度为N 的有限长序列xN (n)即： xN(n)=IDFTX(k),3）可以推导：xN (n)是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓取主值的结果。,1）在单位圆上对X(z)进行等间隔采样
10、N 点得到,x(n)以N 为周期延拓取主值的混叠现象,频域采样定理,如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样的点数NM 时，才可由频域采样值X(k)恢复原序列x(n) ，否则会产生时域混叠现象。,下面推导用频域采样值X(k)表示X(z)的内插公式：,3.4 DFT 的应用举例,DFT的广泛应用是在其快速算法FFT出现之后，主要应用在卷积和相关的具体计算，及用DFT近似计算信号的傅里叶变换。本节介绍DFT的两个重要应用：一是用DFT计算卷积；二是用DFT对连续信号或序列进行谱分析。,3.4.1 用DFT计算线性卷积,利用圆周卷积计算线性卷积的条件是：LN+M-1 演示：混叠现象,用DFT计算
11、线性卷积时的可能问题：如果当x(n)与h(n)都较长且长度差不多时，FFT算法优点明显。如果x(n)长度比h(n)长度大得多时， h(n)要补很多零值，这时FFT的优点表现不出来；而且要等x(n)全部输入完后才能计算输出，导致延时很大。,线性卷积的重叠相加法：动画演示（重叠相加法）,线性卷积的重叠保留法：动画演示（重叠保留法）,学习参考：徐庆征,彭丽. 基于MATLAB的分段卷积计算J.苏州科技学院学报(工程技术版),2006,(02),解决办法：将长序列分段处理（重叠相加法和重叠保留法）。,3.4.2 用DFT对信号进行谱分析,可行性分析：演示 DFT对FT逼近的全过程,信号频谱分析的基本流程：,可能的问题及解决办法：混叠现象、截断效应、栅栏效应 。,学习参考：张登奇,杨慧银.信号的频谱分析及MATLAB实现J.湖南理工学院学报(自然科学版),2010,(03),结论：离散信号的频谱与连续信号的频谱只相差一个1/T 常数，DFT值可较好地反映信号的频谱趋势，可以用来分析信号的频谱。,第3章 复习,作业：P105 T16、T18,1、DFT的定义（DFT的定义与计算、I DFT的推导与计算） 2、DFT与Z变换和傅里叶变换的关系（采样与插值的关系） 3、DFT的性质 （线性性质与卷积定理） 4、频率域采样 （频域采样定理） 5、DFT的应用 （计算卷积与分析频谱）,再见,
