恒定电流的电场和磁场

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1、第三章 恒定电流的电场和磁场,3.1 恒定电流的电场3.2 磁感应强度3.3 恒定磁场的基本方程3.4 矢量磁位3.5 磁偶极子3.6 磁介质中的场方程3.7 恒定磁场的边界条件3.8 标量磁位3.9 互感和自感3.10 磁场能量3.11 磁场力,3.1 恒定电流的电场,3.1.1 电流密度,图 3-1 电流密度,设通过S的电流为I，则该点处的电流密度 J为,电流密度的单位是安培/米3(A/m3)。导体内每一点都有一个电流密度，因而构成一个矢量场。我们称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做电流线。 可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一般情况下， 电流密度J和面积元dS的方向并不相

2、同。此时，通过面积S的电流就等于电流密度J在S上的通量，即,图 3-2 面电流密度,3.1.2 电荷守恒定律,要使这个积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为零，即,3.1.3 欧姆定律的微分形式,表 3-1 常用材料的电导率,图 3-3 电动势,3.1.4 焦耳定律,当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间内电场力对电荷所作的功，即功率是,在导体中，沿电流线方向取一长度为l、截面为S的体积元，该体积元内消耗的功率为,当V0，取P/V的极限，就得出导体内任一点的热功率密度，表示为,或,此式就是焦耳定律的微分形式。应该指出，焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言，电场力对电

3、荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶格碰撞的热能。,3.1.5 恒定电流场的基本方程,我们将电源外部导体中恒定电场的基本方程归纳如下：,与其相应的积分形式为,电流密度J与电场强度E之间满足欧姆定律J=E。,以上的电场是指库仑场， 因为在电源外的导体中， 非库仑场为零。由于恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位, E=-。 在均匀导体内部(电导率为常数)，有,3.1.6 恒定电流场的边界条件,图 3-4 边界条件,或,恒定电流场的边界条件为,在恒定电场中， 用电位表示的边界条件为,式中，Jn=J1n=J2n, 当 时， 分界面上的面电荷密度为零。,应用边界条件，可得,可以看出，当12，

4、即第一种媒质为良导体时，第二种媒质为不良导体时， 只要1/2, 20，即在不良导体中， 电力线近似地与界面垂直。这样，可以将良导体的表面看作等位面。,例 3-1 设同轴线的内导体半径为a, 外导体的内半径为b，内、 外导体间填充电导率为的导电媒质，如图 3-5 所示，求同轴线单位长度的漏电电导。,图 3-5 同轴线横截面,解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体， 设流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的电流密度和电场为,内、外导体间的电压为,漏电电导为,也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R求出漏电电阻R：,3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟,表 3-2

5、 恒定电场与静电场的比较,图 3-6 两极板间的电场,例 3-3 计算深埋地下半径为a的导体球的接地电阻(如图 3-7 所示)。设土壤的电导率为0。,图 3-7 例 3-3 用图,解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率， 可将导体球看作等位体。用静电比拟法，位于电介质中的半径为a的导体球的电容为,所以导体球的接地电导为,接地电阻为,3.2 磁 感 应 强 度,图 3-8 安培定律,安培定律指出：在真空中载有电流I1的回路C1上任一线元dl1对另一载有电流I2的回路C2上任一线元dl2的作用力表示为,令,若电流不是线电流，而是具有体分布的电流J，则式(3-29)改为,(3-29),可以用上

6、式计算各种形状的载流回路在外磁场中受到的力和力矩。对以速度v运动的点电荷q，其在外磁场B中受的力是,如果空间还存在外电场E，电荷q受到的力还要加上电场力。这样，就得到带电q以速度v运动的点电荷在外电磁场(E，B)中受到的电磁力为,上式称为洛仑兹力公式。,例 3 - 4 求载流I的有限长直导线(参见图 3 - 9)外任一点的磁场。,图 3-9 例 3 - 4 用图,解： 取直导线的中心为坐标原点，导线和z轴重合，在圆柱坐标中计算。,从对称关系能够看出磁场与坐标无关。不失一般性，将场点取在 =0， 即场点坐标为(r, 0, z)， 源点坐标为(0，0，z)。,所以,式中：,对于无限长直导线(l)，

7、1=/2, 2=-/2，其产生的磁场为,3.3 恒定磁场的基本方程,3.3.1 磁通连续性原理,磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量(或磁通)，单位是Wb(韦伯)，用表示：,如S是一个闭曲面， 则,上式中， ，故可将其改写为,由矢量恒定式,则有,而梯度场是无旋的，,所以,使用散度定理， 得到,由于上式中积分区域V是任意的， 所以对空间的各点， 有,上式是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度B是一个无源(指散度源)场。,3.2.2 安培环路定律,图 3-10 环路定律,假设回路C对P点的立体角为，同时P点位移dl引起的立体角增量为d，那么P点固定而回路C位移dl所引起的立体角增量也为d

8、。-dldl是dl位移-dl所形成的有向面积。注意到R=r-r， 这个立体角为 。 把其对回路C积分，就得到P点对回路C移动dl时所扫过的面积张的立体角，记其为d， 则以上的磁场环量可以表示为,可以证明，当载流回路C和积分回路C相交链时，有,当载流回路C和积分回路C不交链时，有,这样当积分回路C和电流I相交链时，可得,(3 - 36),当穿过积分回路C的电流是几个电流时， 可以将式(3 - 36)改写为一般形式：,根据斯托克斯定理，可以导出安培回路定律的微分形式：,由于,因积分区域S是任意的， 因而有,上式是安培环路定律的微分形式，它说明磁场的涡旋源是电流。我们可用此式从磁场求电流分布。对于对

9、称分布的电流， 我们可以用安培环路定律的积分形式，从电流求出磁场。,例3-5 半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。,解:,在导线内电流均匀分布， 导线外电流为零，,r a,ra,当ra时， 积分回路包围的电流为I； 当ra时，包围电流为Ir2/a2。 所以当ra时，,当ra时，,写成矢量形式为,r a,ra,3.4 矢 量 磁 位,可以令,称式中的A为矢量磁位(简称磁矢位)，其单位是Tm(特斯拉米)或Wb/m(韦伯/米)。矢量磁位是一个辅助量。式(3 - 40)仅仅规定了磁矢位A的旋度，而A的散度可以任意假定。因为若B=A，另一矢量A=A+ ，其中是一个任意标量函数

10、，则,使用矢量恒等式,上式是磁矢位满足的微分方程，称为磁矢位的泊松方程。对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即,将其写成矢量形式为,若磁场由面电流JS产生，容易写出其磁矢位为,同理，线电流产生的磁矢位为,磁通的计算也可以通过磁矢位表示：,例 3 - 6 求长度为l 的载流直导线的磁矢位。,图 3-11 直导线磁矢位,解 :,当lz时，有,上式中，若再取lr, 则有,当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点， 就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0处为磁矢位的零点时，可以得出,从上式， 用圆柱坐标的旋度公式，可求出,例 3 7 用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。,解：,r

11、 a,ra,从电流分布可以知道磁矢位仅仅有z分量，而且它只是坐标r的函数，即,设在导线内磁位是A1, 导线外磁位是A2，,ra时，,可以求出导线内、 外的磁场分别为,导体外部的磁感应强度为,3.5 磁 偶 极 子,图 3-12 磁偶极子,式中：,如果ra，则,从图 3 - 12 可见，,所以,式中，m=Ia2，是圆形回路磁矩的模值。一个载流回路的磁矩是一个矢量，其方向与环路的法线方向一致，大小等于电流乘以回路面积，即其定义为,位于点r的磁矩为m的磁偶极子，在点r处产生的磁矢位为,位于外磁场B中的磁偶极子m，会受到外磁场的作用力及其力矩。 这里仅仅给出作用力及力矩的公式。 作用力为,力矩为,3.

12、6 磁介质中的场方程,3.6.1 磁化强度,式中m是分子磁矩，求和对体积元V内的所有分子进行。磁化强度M的单位是A/m(安培/米)。如在磁化介质中的体积元V内， 每一个分子磁矩的大小和方向全相同(都为m)， 单位体积内分子数是N， 则磁化强度为,3.6.2 磁化电流,图 3 -13 磁化介质的场,全部磁介质在r处产生的磁矢位为,可以将上式改写为,再用恒等式,可将磁矢位的表示式变形为,图 3-14 磁化电流示意图,例 3 - 7 半径为a、高为L的磁化介质柱(如图 3 -15 所示)，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm和磁化面电流JmS。,图 3 15 例 3 -

13、 7用图,解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合， 磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时，M=M0ez，由式(3 -52)得磁化电流为,在界面z=0上，n=-ez,在界面z=L上，n=ez，,在界面r=a上，n=er,3.6.3 磁场强度,在外磁场的作用下，磁介质内部有磁化电流Jm。 磁化电流Jm和外加的电流J都产生磁场，这时应将真空中的安培环路定律修正为下面的形式：,令,其中H称为磁场强度，单位是A/m(安培/米)。于是有,与上式相应的微分形式是,3.6.4 磁导率,M与H间的关系为,式中m是一个无量纲常数，称为磁化率。非线性磁介质的磁化率与磁场强度有关，非均匀介质的磁

14、化率是空间位置的函数， 各向异性介质的M和H的方向不在同一方向上。顺磁介质的m为正， 抗磁介质的m为负。这两类介质的m约为 10-5量级。,式中，r=1+m，是介质的相对磁导率，是一个无量纲数；=0r，是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为H/m(亨/米)。铁磁材料的B和H的关系是非线性的，并且B不是H的单值函数， 会出现磁滞现象，其磁化率m的变化范围很大，可以达到106量级。,3.6.5 磁介质中恒定磁场基本方程,例 3 8 同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图 3 - 16 所示。设内、外导体分别流过反向的电流I， 两导体之间介质的磁导率为，求各区域的H、B、M。

15、,图 3-16 同轴线示意图,解： 以后如无特别声明，对良导体(不包括铁等磁性物质)一般取其磁导率为0。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化， 该磁场只有分量，且其大小只是r的函数。分别在各区域使用介质中的安培环路定律C Hdl=S JdS，求出各区的磁场强度H， 然后由H求出B和M。当ra时， 电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培环路定律得,考虑这一区域的磁导率为0，可得,(r a),(r a),当arb时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为，可得,(arb),当bc时，这一区域的B、H、M为零。,3.7 恒定磁场的边界条件,图 3-17 Bn的边界条件,设底面和顶面的面积均等于S。将积分形式的磁通连续性原理(即S BdS=0)应用到此闭合面上，假设圆柱体的高度h趋于零， 得,写成矢量形式为,图 3 - 18 Ht的边界条件,将介质中积分形式的安培环路定律,应用在这一回路， 得,若界面上的电流可以看成面电流， 则,于是有,考虑到l=bn, 得,使用矢量恒等式,如果无面电流(JS=0)，这一边界条件变成为,用下标t表示切向分量，上式可以写成标量形式：,