非线性方程组求根

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1、第八章,非线性 方程（组）求根,问题驱动：全球定位系统（GPS）,人类对导航和定位的需求是伴随着人类整个文明历史的进步而发展的，中国古代“四大发明”之一的指南针是最早的定位仪器和系统，其后还有经纬仪以及近代的雷达。如图8.1.1所示全球定位系统（GPS）是基于卫星的导航系统，最早由美国和前苏联分别在80年代研制，并于1993年正式投入使用。现代社会中全球定位系统越来越深入到人们生活的方方面面。例如市场上出售的手持型GPS，定位的精度可以达到10米以内，这无疑给旅行者提供了方便；安装有GPS的儿童手表，家长在家里的计算机上可以追踪到孩子的位置，防止儿童走 失；安装有GPS系统的汽车可以帮助新司机

2、辨识道路等等。,图8.1.1 卫星定位示意图,美国和前苏联的GPS都包括有24颗卫星，它们不断地向地 球发射信号报告当前位置和发出信号的时间，卫星分布如图 8.1.2所示。它的基本原理是：在地球的任何一个位置，至少 同时收到4颗以上卫星发射的信号。,发射的信号，,设地球上一个点R，同时收到卫星,假设接收的信息如表8.1.1所示。请设法确定R点的位置。,图8.1.2 卫星分布图,表8.1.1,GPS导航问题可归结为求解非线性代数数方程组, 当,时就是单个方程.,（8.1.1）,。,.,其中，,可以是代数方程，也可以是超越方程。使,成立的x,值称为方程的根，或称为,计算中，如电路和电力系统计算、非

3、线性力学、非线性微（ 积分）方程、非线性规划（优化）等众多领域中，问题的求 解和模拟最终往往都要解决求根或优化问题。前一种情形要 求出方程（组）的根；后一种情形则要求找出函数取最大或 最小的点。即使是对实验数据进行拟合或数值求解微分方程， 也总是将问题简化成上述两类问题。上述除少数特殊方程外， 大多数非线性代数方程（组）很难使用解析法求解精确解， 一般需要通过一些数值方法逼近方程的解。这里主要介绍单 个方程的数值解法，方程组也可以采用类似的方法，将放在 后面讨论。,的零点。科学与工程,1根的存在性。方程有没有根？如果有，有几个根？,2根的搜索。这些根大致在哪里？如何把根隔离开？,3根的精确化。

4、,f (x) = 0 （8.2.1）,1.根的存在性,定理1：设函数 f (x) 在区间a, b上连续，如果f (a) f (b) 0，则方程 f (x) = 0 在a, b内至少有一实根x*。,定义：,如果存在 使得 ，则称 为方程（8.2.1）,的根或函数 的零点。,m重根,若,其中，,为正整数，,则当m=1时，,称 为方程（8.2.1）,的单根或函数 的单零点。,称 为方程（8.2.1）,的 m重根或函数 的m重零点。,当 时，,2. 根的搜索,(1) 图解法（利用作图软件如 Matlab),(2) 解析法,(3) 近似方程法,(4) 定步长搜索法,x*,f(x),1画出 f(x) 的略

5、图，从而看出曲线与x 轴交点的位置。,2从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0 和终点x0 + h的函数值，若,那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h 作为根的初始近似。,例1：考察方程,x1,x2,a,b,或,不能保证 x 的精度,x*,2,1 二 分 法,执行步骤,1计算f (x)在有解区间a, b端点处的值，f (a)，f (b)。,2计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。,3判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验：,（1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间a, x1，b1=x1,

6、 a1=a;,（2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间x1, b，a1=x1, b1=b。,反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：,当,时，,，即这些区间必将收缩于一点，也就是,方程的根。在实际计算中，只要,的区间长度小于预定容,许误差,就可以停止搜索，即,然后取其中点,作为方程的一个根的近似值。,注：,例1 证明方程,存在唯一的实根,用二分法,求出此根，要求误差不超过,。,解：记,，则对任意,，,因而，,是严格单调的，,最多有一个根，,所以，,有唯一实根,又因为,用二分法求解，要使,，只要,解得,，取,。所以只要二等分7次，即可求得满,足精度要求的根。计算过程如表6.2.1

7、所示,表6.2.1,所以，,简单; 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .,无法求复根及偶重根 收敛慢,二分法的优缺点, 问题 虽然二分法计算简单，能够保证收敛，但是它对于方程单根存在区域信息要求太高，一般情况下很难实现，并且不能求偶重根、复根和虚根。在实际应用中，用来求解方程根的主要方法是迭代法。,使用迭代法求解非线性代数方程的步骤为： (1) 迭代格式的构造； (2) 迭代格式的收敛性分析； (3) 迭代格式的收敛速度与误差分析。,2 迭 代 法,1简单迭代法,f (x) = 0,x = (x),其中 (x)是连续函数。方程（8.3.1）称为不动点方程，满足 （8.3.1）式的点称为不

8、动点，这样就将求,（8.3.1）,的零点问题转,化为求,的不动点问题。,称这种迭代格式为不动点迭代。,以不动点方程为原型构造迭代格式,构造迭代格式,x1 = 0.4771 x2 = 0.3939 x6 = 0.3758 x7 =0.3758,解：,给定初始点,定理8.1：如果 (x)满足下列条件（1）当xa, b时，(x)a, b（2）当任意xa, b，存在0 L 1，使则方程x = (x)在a, b上有唯一的根x*,且对任意初值x0a, b，迭代序列xk+1= (xk) (k = 0, 1, )收敛于x*。,(8.3.2),注 此处L可以看成是 在区间a,b内的上界。,2迭代过程的收敛性,3

9、迭代法的误差估计,在定理8.1的条件下，简单迭代法产生的迭代点列 有如下误差估计式：,停机准则。,（8.3.3）,求方程,在,内的根,例：,。,解：,原方程可以等价变形为下列三个迭代格式,由迭代格式 （1）,取初值,得,结果是发散的？！,由迭代格式 （2）,取初值,得,结果精确到四位有效数字，迭代到,得到收敛结果。,十步才能得到收敛的结果！,由迭代格式（3）,取初值,得,结果精确到四位有效数字，迭代到,得到收敛结果。,四步就能得到收敛的结果了！,迭代格式（1）的迭代函数为,求导得,当,时,故迭代格式（1）是发散的。,分析:,迭代格式（2）的迭代函数为,当,时,由,知当,时，,所以迭代格式（2）

10、是收敛的。,迭代格式（3）的迭代函数为,当,时,由,时，,知当,所以迭代格式（3）也是收敛的。,结论:,通过以上算例可以看出对迭代函数,所得到的,若小于1，则收敛；且上界越小收敛速度越快。,求导，,的上界若是大于1，则迭代格式发散；,4迭代过程的局部收敛性,定义8.1,定理8.2,设 为方程 的根， 在 的邻近连续且,，则迭代过程 在 邻近具有局部收敛性。,5迭代过程的收敛速度,设由某方法确定的序列xk收敛于方程的根x*， 如果存在正实数p，使得,（C为非零常数）,定义8.2：,则称序列xk收敛于x*的收敛速度是p阶的，或称该方法 具有p 阶收敛速度。当p = 1时，称该方法为线性（一次）收敛

11、； 当p = 2时，称方法为平方（二次）收敛；当1 p 2或 C=0,p=1时，称方法为超线性收敛。,6. 迭代法收敛阶的判别,定理8.3 如果 在 附近的某个领域内有p( )阶连续导数，且,则迭代格式 在 附近是p阶局部收敛的，且有,7. 加速收敛技术,L越小迭代法的收敛速度越快，因此，可以从寻找较小的L来改进迭代格式以加快收敛速度。,思路,(1). 松弛法,引入待定参数,，将,作等价变形为,（8.3.4）,将方程右端记为,，则得到新的迭代格式,由定理2知,为了使新的迭代格式比原来迭,代格式收敛得更快，只要满足,且,越小，所获取的L就越小，,迭代法收敛的就越快，因此我们希望,。,可取,，若记

12、,则（8.3.4）式可改写为,称为松弛因子，这种方法称为松弛法。为使迭代速度加快， 需要边计算边调整松弛因子。由于计算松弛因子需要用到微商， 在实际应用中不便使用，具有一定局限性。若迭代法是线性收 敛的，当计算 不方便时，可以采用埃特金加速公式。,(2). 埃特金加速公式,设迭代法是线性收敛，由定义知,成立，故当,时有,由此可得,的近似值,（8.3.5）,由此获得比,和,更好的近似值,，利用（8.3.5）,序列,的方法称为,(3). Steffensen 加速法：,将Aitken加速公式与不动点迭代相结合，可得,（8.3.6）,式构造,埃特金（Aitken）加速方法。,利用（8.3.6）式构造

13、序列,的方法称为Steffensen加速方法。,即每进行两次不动点迭代，就执行一次Aitken加速。,例2 试用简单迭代法和Steffensen加速法求方程,在,附近的根，精确至四位有效数。,解：记,，简单迭代法公式为：,计算得,Aitken加速公式,计算得,3 牛顿法,一、牛顿法的迭代公式考虑非线性方程,原理：将非线性方程线性化 Taylor 展开,取 x0 x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开:,， 在 x0 和 x 之间。,将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：,只要 f C1，且每步迭代都有 ， 而且,则 x*就是 f (x)的根。公式（9.4.1）称为牛顿迭代公式

14、。,(8.4.1),构造迭代公式,x*,x0,x1,x2,二、牛顿法的几何意义,三、牛顿法的收敛性,定理8.4： 设f (x)在a, b上存在二阶连续导数且满足下列条件：（1）f (a) f (b) 0 则由（8.4.1）确定的牛顿迭代序列xk二阶收敛于f (x)在a, b上的唯一单根x*。,注：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。,x*,四. 牛顿迭代法的局部收敛性与收敛速度,，,且,的一个区间二阶连续可,导，则Newton迭代法至少二阶收敛，即,的重根时，牛顿,法在,的附近是线性收敛的。且Newton迭代法在,上的,的选取充分靠近,时，,一般可保证Newton迭代法收敛。,并得出了,

15、是该方程的一个根，无人知道他用什么,方法得出的，在当时这是一个非常有名的结果，试用牛顿法求 出此结果。,解： 记,则,，又,，并改写,例3 Leonardo于1225年研究了方程,用牛顿迭代格式,五、求m重根的牛顿法,1、迭代格式,(8.4.2),2、重数m的确定,3、迭代格式（9.4.2)的收敛阶（至少2阶收敛）,由于Newton迭代法的收敛性依赖于初值,的选取，如果,离方程的根,较远，则Newton迭代法可能发散。为了防止迭,代发散，可以将Newton迭代法与下山法结合起来使用，放宽,初值,的选取范围，即将（8.4.1）式修改为：,其中，,称为下山因子，选择下山因子时，希望,满足下,山法具有的单调性，即,这种算法称为Newton下山法。,在实际应用中，可选择,。,六、牛顿法的变形,1、牛顿下山法,牛顿下山法的计算步骤：,（1）选取初始近似值x0；,（2）取下山因子 = 1；,（3）计算,（4）计算f (xk+1)，并比较 与 的大小，分以下二种情况,1）若 ，则当 时，取x* xk+1，计算过程结束；当 时，则把 xk+1 作为新的 近似值，并返回到（3）。,