《函数的简单函数表示》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的简单函数表示（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一部分 实验指导书,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,1,3.1 函数的简单函数表示,一、实验目的1理解Taylor公式的意义；2认识Taylor公式的地位和作用；3了解较复杂函数的简单函数表示。,二、实验使用的软件Mathematica 5.0或以上版本.,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,2,三、实验的基本理论及方法 1Taylor公式 11带皮亚诺余项的Taylor公式,设函数,在,处,阶可导, 则,.,特别地,，即得Maclaurin公式,.,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,3,1
2、2带拉格朗日余项的Taylor公式,设函数,且, 则,其中,介于,与,之间.,特别地,，即得Maclaurin公式,其中,介于,与,之间.,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,4,2幂级数展开给定函数f(x)及任意一点x0是否能找到一个幂级数 ，在其收敛区间内的和函数恰好就是给定的函数f(x)呢？如果能找到这样的幂级数，我们就说f(x)在x0能展开成幂级数，而该幂级数就称为f(x)的在该点处的幂级数展开式。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,5,3傅里叶级数展开对波的研究在物理学和工程技术中显得非常重要，它反映了物质作周期运动的
3、运动规律，我们常常用一个以T为周期的周期函数f(t)=f(t+T)来描述它。而简谐振动是最简单的一种周期运动，其运动规律为y=Asin(t+ )，其中y表示动点的位置，t表示时间，A表示振幅， 是初相， 为角频率.那么其它的波能否用无穷多个简谐波的叠加来表示是傅里叶级数所要解决的问题。若函数f(x)是以2 为周期的周期函数，且在区间- ,上连续或只有有限个第一类间断点，而且只有有限个极值点（上述条件称为狄里克雷充分条件），则有,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,6,（1）当,是,的连续点时，,(1),其中的系数,由式（2）确定,(2),其中，式(1)的右端称为
4、函数f(x)的傅立叶级数；式（2）称为傅立叶系数公式。,（2）当x是f(x)的间断点时，傅立叶级数收敛于,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,7,四、实验材料,1.编写Mathematica程序，从图象上观察多项式与函数的接近或逼近在同一坐标系里分别作出各次多项式函数与函数y=sinx的图象。观察这些多项式函数的图象向y=sinx的图象逼近的情况。,2.构造多项式与函数逼近,设多项式函数,与函数,f(x)逼近，则,对f(x)分别构造各阶（例如一阶、二阶、十五阶）Maclaurin或Taylor多项式，并从图象观察逼近程度与范围。,科学出版社,南通大学理学院计算科
5、学与统计学系,2018/10/15,8,3.傅立叶级数分别取n=20,30,画出函数,在区间-3,3上的图象，观察正弦波的叠加。Mathematica没有专门的命令将一个周期函数进行傅里叶级数展开，但我们可以通过下列的程序将一个以2为周期的周期函数展开成有限阶不带任何余项的傅里叶级数n=Input“n=”;fx_=Inputfx=L=(1.0/Pi*NIntegratefx,x,-Pi,Pi;Fori=1,iRGBColor1,0,0, RGBColor0,1,0,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,13,12实验思路例1.1 在同一坐标系里分别作出多项式函数，
6、 ， ， ， ， ， ，和函数 的图象观察这些多项式函数的图象向 的图象逼近的情况 思考：哪些多项式函数能与 逼近？在什么范围内逼近？,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,14,思考：哪些多项式函数能与 逼近？在什么范围内逼近？一般地，观察一类多项式能与哪一个函数在什么范围内逼近。,例1.2在同一坐标系里分别作出多项式函数,和函数 的图象观察这些多项式函数的图象向 的图象逼近的情况,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,15,2、Maclaurin(Taylor)级数的整体表示 21程序 函数 的 阶Maclaurin公式构造的Ma
7、thematica计算程序如下 n=n0; fx_=expr ; ax,k_=Dfx,x,k/k!; Tablea0,k,k,0,n; px_,n=Suma0,k*xk,k,0,n阶Maclaurin公式当 时的Mathematica程序 gx_:=Suma0,k*xk,k,0,Infinity,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,16,阶Maclaurin公式当 时的近似函数(取 )与对应函数比较的Mathematica程序hx_:=Suma0,k*xk,k,0,1001；Plotfx,hx，x，a，b,PlotStyle-RGBColor1,0,0, RGB
8、Color0,1,0,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,17,函数 关于 的 阶Taylor公式构造的Mathematica计算程序如下 n=n0; x0=x0; fx_=expr ; ax,k_=Dfx,x,k/k!; Tableax0,k,k,0,n; px_,n=Sumax0,k*(x-x0)k,k,0,n,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,18,22实验思路例2.1 构造函数sinx的5、7、9、11、13、15阶Maclaurin公式，观察函数sinx的各阶Maclaurin公式与sinx的逼近程度；观察n阶Macl
9、aurin公式当n时的近似函数；此近似函数与函数sinx的比较。取x0=1对sinx分别构造一阶、二阶、十五阶Taylor多项式，并从图象观察逼近程度与范围；观察n阶Taylor公式当n时的近似函数；此近似函数与函数sinx的比较。再取x0=/3对sinx分别构造一阶、二阶、十五阶Taylor多项式，并从图象观察逼近程度与范围；观察n阶Taylor公式当n时的近似函数；此近似函数与函数sinx的比较。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,19,例2.3 设 ，构造Maclaurin公式；观察阶数；从图象观察逼近程度与范围。例2.4 设 ，构造Maclaurin公
10、式；观察阶数；从图象观察逼近程度与范围。,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,20,3、周期函数的傅里叶级数 31程序 下列的程序将一个以2 为周期的周期函数展开成有限阶不带任何余项的傅里叶级数n=Input“n=”;fx_=Inputfx=L=(1.0/Pi*NIntegratefx,x,-Pi,Pi;Fori=1,iRGBColor1,0,0, RGBColor0,1,0 运行结果为,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,2018/10/15,28,在程序中把多项式x分别替换其它多项式运行程序，有如下结果(结果省略).,科学出版社,南通大学理学院计算科学与统计学系,
