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1、函数奇偶性的判断方法 （周口卫生学校 马爱华 466000） 摘要摘要：本文由两个高考题来验证判断函数奇偶性的三种常见方法： 1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法） ；2、用求 和（差）法判断；3、用求商法判断。 关键词：关键词：奇函数 偶函数 定义域 求和（差）法 求商法 函数的奇偶性是函数的一个重要的性质，其重要性质体现在它与函数 的各种性质的联系之中，那么，怎样来判断函数的奇偶性呢？ 函数的奇偶性的判断应从两方面来进行，一是看函数的定义域是否关 于原点对称（这是判断奇偶性的必要性）二是看与的关系。判断)(xf)( xf 方法有以下三种： 1、利用奇偶函数的定义来判断（这
2、是最基本，最常用的方法） 定义：如果对于函数 y=f（x）的定义域 A 内的任意一个值 x， 都有 f（-x）=-f（x）则这个涵数叫做奇函数 f（-x）=f（x） 则这个函数叫做偶函数 2、用求和（差）法判断 若则为奇函数0)()(xfxf( ( )()2 ( )f xfxf x)(xf 若 则为偶函数)(2)()(0)()(xfxfxfxfxf)(xf 3、用求商法判断 若则为奇函数0)(1 )( )( xf xf xf )(xf 若 则为偶函数0)(1 )( )( xf xf xf )(xf 例 1、判断函数的奇偶性（对口升学 07 年高考题）xxxf 2 1lg)( 解法一（定义法）
3、函数的定义域为 R，关于原点对称 xxxf 2 1lg)( = 22 2 ( 1)( 1) lg 1 xxxx xx 1 2 2 1lg 1 1 lg xx xx = 2 lg( 1)xx( )f x 为奇函数)(xf 解法二（求和（差）法） xxxxxfxf 22 1lg1lg)()( xxxx 22 11lg =01lg 为奇函数)(xf 解法三（求商法） xx xx xx xx xx xx xf xf 2 2 2 2 2 2 1lg 1lg 1lg 1 1 lg 1lg 1lg )( )( )0( 1x 为奇函数)(xf 例 2 判断函数的奇偶性（对口升学 08 年高考题） 2 1 12
4、 1 )( x xxf 解法一（定义法） 函数的定义域为的全体实数，关于原点对称0x 2 1 21 2 2 1 12 1 )( x x x xxxf 为偶函数 而 )( )()( 2(2 21 ) 12(2 122 2 1 12 1 )( ) 12(2 12 )21 (2 12 )21 (2 2122 xf xfxf xxxxf x xx x x x x x x x x x x xx 解法二（求和（差）法） 2 1 12 1 )()( x xxfxf 为偶函数)( 0 12 )21 ( 12 2 12 221 2 212 xf xxx x x xx xxxx x x x x x x x x 解
5、法二（求商法） 2 1 12 1 2 1 2 2 2 1 12 1 2 1 12 2 2 1 12 1 2 1 21 2 2 1 12 1 2 1 12 1 )( )( 1 x x x x x x x x x x x x x xf xf 1 12 12 12(2 122 ) 12(2 1222 x x x x x xx 为偶数函数)(xf 例 3 已知是定义在 R 上的函数，试判断的奇偶性0)(xf)(xf 解：的定义域为 R，关于原点对称)(xf 为偶函数)( )(0)( xf xfxf 又)(00)(xfxf 为既奇偶函数 为奇函数 )( )( xf xf 由例 3 可知，确实存在既是奇函
6、数又是偶函数的函数，这种函数的值 恒为零。 因此，函数可分为四类： 1、奇函数（非偶函数） 2、偶函数（非奇函数） 3、既是奇函数又是偶函数（既奇又偶函数） 4、既不是奇函数又不是偶函数（非奇非偶函数） 另外，我们还可以利用函数的图象来判断函数的奇偶性。 偶函数 其图象关于 y 轴对称 奇函数 其图象关于原点对称 从上面两个等价命题可以得出：奇函数在原点两侧的单调性相同（即 同增同减） ；偶函数在原点两侧的单调性相反（即左增右减或左减右增） 因此，我们也可以从函数的图象来判断函数的奇偶性，进而解决有关 奇偶性的问题。 参考文献参考文献： 1数学 （基础模块）上册 中等职业教育课程改革国家规划教材 2012 年 2数学河南省职业技术教育教学研究室 编 2013 年河南省中等职业学校对口升学考试复习指导
