flac3d理论基础-屏幕版

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1、FLAC3D 理论基础理论基础这部分阐述的是这部分阐述的是 FLAC3D 的有关理论。的有关理论。FLAC3D 很大一部分很大一部分 是二维是二维 FLAC 的扩展，而显式有限差分法是的扩展，而显式有限差分法是 FLAC 和和 FLAC3D 的的 共同的理论基础，有关这一部分，可参考共同的理论基础，有关这一部分，可参考 FLAC 用户手册。尽管用户手册。尽管 如此，二维和三维的方程还是有一些明显的不同，特别是在数学如此，二维和三维的方程还是有一些明显的不同，特别是在数学 模型的扩展上。这里主要讨论三维模型在模型的扩展上。这里主要讨论三维模型在 FLAC3D 中的实现方法。中的实现方法。1.1.

2、三维显示差分模型模型的构成三维显示差分模型模型的构成FLAC3D 是显式有限差分程序，可以模拟连续三维介质达到是显式有限差分程序，可以模拟连续三维介质达到平衡状态或稳定塑性流动时的力学行为。这种力学行为，可以通平衡状态或稳定塑性流动时的力学行为。这种力学行为，可以通 过建立特定的数学模型和特定的数字模拟方法来实现。下面就来过建立特定的数学模型和特定的数字模拟方法来实现。下面就来 阐述这两方面的有关内容。阐述这两方面的有关内容。1.11.1 数学模型数学模型介质的力学特征可通过一般的力学关系（如应变的定义、运介质的力学特征可通过一般的力学关系（如应变的定义、运 动方程等）和理想介质的本构方程进行

3、推导。所得到的数学表达动方程等）和理想介质的本构方程进行推导。所得到的数学表达 式是一系列的偏微分方程及相关变量如：静力学中应力和动力学式是一系列的偏微分方程及相关变量如：静力学中应力和动力学 中的应变速率、速度等。对于特定的具有几何特征和特殊性质的中的应变速率、速度等。对于特定的具有几何特征和特殊性质的 介质，这些方程和变量在给定的边界条件和初始条件下，可以求介质，这些方程和变量在给定的边界条件和初始条件下，可以求 解。解。 尽管尽管 FLAC3D 主要是研究处于极限平衡状态下的介质变形及主要是研究处于极限平衡状态下的介质变形及 应力状态，但它的模型里可以包含有运动方程是它的一大特色。应力状

4、态，但它的模型里可以包含有运动方程是它的一大特色。在进行数字模拟过程中，由于惯性物体将达到稳定状态或平衡状在进行数字模拟过程中，由于惯性物体将达到稳定状态或平衡状 态。态。 1.1. 1 符号约定符号约定在在 FLAC3D 的拉格朗日公式中，用矢量（的拉格朗日公式中，用矢量（） ，iiivux，（其中（其中 i=1，3）来分别表示介质中点的空间位置、位移、）来分别表示介质中点的空间位置、位移、dtdvi速度和加速度。速度和加速度。 作为一种符号约定，据上下文的不同，斜体字可以矢量和张作为一种符号约定，据上下文的不同，斜体字可以矢量和张量。如：符号量。如：符号表示笛卡儿坐标系下矢量表示笛卡儿坐标

5、系下矢量的的 i 分量；分量；Aij表示张表示张iaa量量A的（的（i,j）分量。还有，）分量。还有，表示表示对对 xi的偏导数（其中的偏导数（其中可以可以i ,是标量，也可以矢量或张量的分量。是标量，也可以矢量或张量的分量。 规定：拉力和张力为正。规定：拉力和张力为正。 爱因斯坦的求和约定只适用于爱因斯坦的求和约定只适用于 i,j,k（i,j,k=1，2，3）1.1.2 应力应力给定点的应力状态可用一个对称的应力张量给定点的应力状态可用一个对称的应力张量来表示。由来表示。由ji,柯西定理，若一个面的单位法矢量为柯西定理，若一个面的单位法矢量为n，则它的拖曳矢量，则它的拖曳矢量t：（1）jij

6、int1.1.3 应变速率与转动速率应变速率与转动速率 假定介质颗粒以速度假定介质颗粒以速度v运动，则在无穷小的时间内，发生无运动，则在无穷小的时间内，发生无穷小应变穷小应变，相应的应变张量可写为：，相应的应变张量可写为：dtvi（2）ijjiijvv,21式中是对空间位置矢量的偏导数。式中是对空间位置矢量的偏导数。 在下面的论述中，第一应变速率变量是表征单元体积的膨胀在下面的论述中，第一应变速率变量是表征单元体积的膨胀率的量。介质的形变率除了张量率的量。介质的形变率除了张量外，还有刚体位移外，还有刚体位移v以及转动以及转动ij速率速率：（3）jkijkiwe21式中：式中：eijk为符号函数

7、，为符号函数，w为转动速率张量，其分量定义为：为转动速率张量，其分量定义为：（4）ijjiijvvw,211.1.4 运动方程与平衡方程运动方程与平衡方程由运动定律的连续形式的柯西运动方程：由运动定律的连续形式的柯西运动方程：（5）dtdvbi ijij,式中：式中：介质单位体积的质量，介质单位体积的质量，b作用于单位质量上的体力，作用于单位质量上的体力， dv/dt 是速度对时间的偏导数。这些定理控制了介质单元体在力是速度对时间的偏导数。这些定理控制了介质单元体在力 的作用下运动状态。当介质处于静力平衡时，加速度的作用下运动状态。当介质处于静力平衡时，加速度 dv/dt 为为 0，由上式得平

8、衡状态下的偏微分方程：，由上式得平衡状态下的偏微分方程：（6）0,ijijb1.1.5 边界条件及初始条件边界条件及初始条件 边界条件包括施加于边界上的牵引力和（或）速度（由位移边界条件包括施加于边界上的牵引力和（或）速度（由位移 而产生的）而产生的） 。另外，还应考虑体力和初始应力状态。另外，还应考虑体力和初始应力状态。1.1.5 本构方程本构方程 运动方程式（运动方程式（5）和应变速率的定义式（）和应变速率的定义式（2）共有）共有 9 个方程和个方程和 15 个未知量，这个未知量，这 15 未知量包括未知量包括 6 个应力速率分量、个应力速率分量、6 个应变速率个应变速率 分量及分量及 3

9、 个速度矢量分量。考虑特定的材料性质，有另外个速度矢量分量。考虑特定的材料性质，有另外 6 个相个相 联系的本构方程，通常用下式表示：联系的本构方程，通常用下式表示：（7）kHijijijij,式中：式中：为共转（为共转（co-rotational）应力速率张量，）应力速率张量，H为一给定为一给定ij的函数，的函数，k 是与加载路径有关的参数。共转（是与加载路径有关的参数。共转（co-rotational）应力）应力 速率张量，等于给定参考系的介质内一点的应力的偏导数和以瞬速率张量，等于给定参考系的介质内一点的应力的偏导数和以瞬 时角速度时角速度的转动，数学表达式如下：的转动，数学表达式如下：

10、（8）kjijijijij ijwwdtd式中，式中，是应力是应力对时间的偏导数，对时间的偏导数，w为转动速率张量。为转动速率张量。dtd1.2 数学模拟数学模拟 FLAC3D 有以下三种逼近方法：有以下三种逼近方法： （1）有限差分法。假定在变量在空间和时间内线性变化，用有限差分法。假定在变量在空间和时间内线性变化，用 变量对空间和时间的一阶导数来近似等于它的有限差分变量对空间和时间的一阶导数来近似等于它的有限差分 值。值。 （2）离散单元法。将连续介质离散为等效块体集合体，所有离散单元法。将连续介质离散为等效块体集合体，所有的力（施加的作用力与相互作用力）作用在三维网格的的力（施加的作用力

11、与相互作用力）作用在三维网格的 节点上。节点上。 （3）动力学解法。运用运动方程求解所研究系统达到平衡状动力学解法。运用运动方程求解所研究系统达到平衡状 态时的参量。态时的参量。 利用以上逼近方法，连续介质的运动定律可变为节点上的牛利用以上逼近方法，连续介质的运动定律可变为节点上的牛 顿定律的离散形式。从而可通过显式有限差分法来求解一般的差顿定律的离散形式。从而可通过显式有限差分法来求解一般的差 分方程。等价介质空间偏导数在由速度定义的应变速率用到。因分方程。等价介质空间偏导数在由速度定义的应变速率用到。因 此，为了定义速度变量和相应的空间间距，介质需离散为常应变此，为了定义速度变量和相应的空

12、间间距，介质需离散为常应变 速率四面体单元，它的顶点即为网格的节点（图速率四面体单元，它的顶点即为网格的节点（图 1） 。图图 1 四面体单元的面和节点四面体单元的面和节点 1.2.1 空间微分与有限差分的近似空间微分与有限差分的近似 作为基础，下面由节点运动方程推导四面体的应变速率张量作为基础，下面由节点运动方程推导四面体的应变速率张量 各分量的有限差分公式。四面体的节点各分量的有限差分公式。四面体的节点 1 到到 4，面，面 n 指与节点指与节点 n 相相对的面（见图对的面（见图 1） 。 由四面体高斯离散理论，可知：由四面体高斯离散理论，可知：（9）dSnvdVv SjiVji,上式，左

13、边和右边分别为对四面体体积和面积积分，上式，左边和右边分别为对四面体体积和面积积分，n为面的单为面的单 位外法矢量。位外法矢量。对常应变速率四面体，速度场是线性变化的，而每一个对常应变速率四面体，速度场是线性变化的，而每一个 面的外法矢量面的外法矢量n也为一常值。因此，式（也为一常值。因此，式（9）积分后有：）积分后有：（10）)()()(41,ff jffijiSnvVv 式中，上标（式中，上标（f）指面）指面 f 的相关变量值，的相关变量值，指指 i 速度分量的均值。速度分量的均值。iv若速度呈线性变化，则：若速度呈线性变化，则：（11） 4, 1)()( 31flll if ivv上标上

14、标 l 指节点指节点 l 的值。的值。将上式代入式（将上式代入式（10） ，有：，有：（12）)(4, 1)(41,31flfff j ll ijiSnvVv 在式（在式（9）中，若）中，若 vi=1，则由离散理论可得：，则由离散理论可得：（13）0)(41)( fff jSn所以，式（所以，式（12）两边同除以）两边同除以 V，则有：，则有：（14）)(41)( ,31lll jl ijiSnvVv 而应变速率张量则可由下式表示：而应变速率张量则可由下式表示：)(41)()( ,)(61lll il jl jl ijiSnvnvV （15）1.2.2 运动定律的节点方程运动定律的节点方程对静

15、力学问题，一般用虚功原理来推导运动定律的节点方程。对静力学问题，一般用虚功原理来推导运动定律的节点方程。 节点习惯术语也与解相应的平衡方程的所用的相类似（式（节点习惯术语也与解相应的平衡方程的所用的相类似（式（6） ） 。一定的时间一定的时间 t 内，我们认为静力平衡问题一般可通过以的平衡方程内，我们认为静力平衡问题一般可通过以的平衡方程 进行求解：进行求解：（16）0,ijijB式中，体力的定义见式（式中，体力的定义见式（5） ，其中：，其中：（17） dtdvbBi ii在这里所用的有限差分逼近格式中，假设介质为受体力在这里所用的有限差分逼近格式中，假设介质为受体力B的常的常 应变四面体的连续集合体。根据虚功原理，作用于单个四面体上应变四面体的连续集合体。根据虚功原理，作用于单个四面体上 的节点力的节点力fn（n=（1,4） ）与所受到的四面体应力和等效体力达到）与所受到的四面体应力和等效体力达到一种静态平衡。若节点的虚速度一种静态平衡。若节点的虚速度（它在四面体中产生线性速（它在四面体中产生线性速v度场度场和常应变速率和常应变速率） ，则由此产生的节点力和体力等外，则由此产生的节点力和体力等外v力功功率等于内部应力产生的内力功功率。力功功率等于内部应力产生的内力功功率。 根据根据 1.1.1 节的的符号约定（上标表示变量的在该节点上的值）节的的符号约