二次三项式的因式分解--教学设计(朱斌)

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1、第九届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动第 1 页 共 9 页一元二次方程的应用（一）一元二次方程的应用（一）二次三项式的因式分解二次三项式的因式分解教学设计说明教学设计说明上海民办兰生复旦中学朱斌一、内容与内容解析一、内容与内容解析 本节课是上海教育出版社九年义务教育课本数学八年级第一学期17.4（1）的内 容是一元二次方程的应用第一节课，内容是使用解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根， 在实数范围内来对二次三项式 ax2+bx+c(a0)因式分解 本课程是对七年级学习的因式分解的再思考，七年级第一学期的整式中，学生已经学 习了在有理数范围内的因式分解，特别地，对二次三项式 a

2、x2+bx+c(a0)，一般使用十字 相乘法进行分解 在七年级第二学期实数一章，经历了从有理数到实数的数系拓展，但并没有解决二次 三项式 ax2+bx+c(a0)在实数范围内的因式分解问题： （1）二次三项式 ax2+bx+c(a0)在实数范围内能否分解？判据是什么？为什么？ （2）如果可以在实数范围内分解，如何分解？ （3）常数 a,b,c 满足什么条件时，二次三项式 ax2+bx+c(a0)可以在有理数范围内分解？ 在八年级系统学习一元二次方程之后，具有对其进行研究的基础通过从特殊到一般 的探究过程，使用学生比较熟悉的配方法作为手段，由浅入深地研究二次三项式的因式分 解，最终掌握通过解与二

3、次三项式 ax2+bx+c(a0)相联系的一元二次方程对二次三项式ax2+bx+c(a0)进行因式分解的方法同时，学生可以从无到有地对问题（1） 、 （2）进行研 究，给有余力的同学提供思考问题（3）的基础，有利于学生以发展的眼光来认识数学 教材中，一元二次方程的公式法就是通过配方法推导的，这节课通过配方法引入，更 好地帮助学生理解二次三项式的因式分解和一元二次方程求解之间的联系 同时，也为高中的进一步的数系扩充做准备，帮助学生在将来学习复数后，能够更加 自然地想到如何处理复数范围内的二次三项式因式分解建立二次三项式 ax2+bx+c(a0) 和一元二次方程 ax2+bx+c=0 之间完整的对

4、应关系鉴于此，本课时的教学重点为： 1、理解关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)能否在实数范围内进行因式分解的判据 2、掌握对于 b2-4ac0 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)在实数范围内因式分解的方法二、目标与目标解析二、目标与目标解析 教学目标教学目标 1知道二次三项式的分解与一元二次方程的解的联系，会判断二次三项式在实数范围 内是否可以因式分解，并能在实数范围内通过解一元二次方程对二次三项式进行分解 2经历分析、存疑、解释、归纳、释义、总结等过程，体会从特殊到一般的数学思维 策略，感受从存疑到寻求解释的数学思辨形式，提高归纳、抽象概括的能力与代数式变形 能力；在解题中

5、体会化归的数学思想 3在不断深入、层层递进的分析中，激发学习数学的兴趣，增强探究和钻研精神；在 理解方程求根和代数式变形关系的过程中，体会数学内部之间的内在联系第九届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动第 2 页 共 9 页三、教学问题诊断分析三、教学问题诊断分析 1面对学生差异，重视因材施教面对学生差异，重视因材施教 授课的对象为上海民办兰生复旦中学八年级的学生，学生总体水平较高，理解能力和 运算能力都比较强 同时，有部分同学在课余已经提前学习过该内容，知道通过解方程 ax2+bx+c=0(a0) 可以对 ax2+bx+c(a0)进行因式分解但是只是机械运用，并不能真正理解方程求根和多 项式

6、因式分解之间的内在联系 因此，本节课的核心任务有两个： （1）帮助学生掌握如何通过求解方程 ax2+bx+c=0(a0)的解来对多项式 ax2+bx+c(a0)进 行因式分解 （2）揭示方程 ax2+bx+c=0(a0)和多项式 ax2+bx+c(a0)因式分解的关系 因此，本课时通过具体的问题引入，使用了和课本不同的方法来引导学生学习课本 中使用了观察、归纳的方法切入，直接归纳出二次三项式因式分解的公式然后，通过多 项式展开和求根公式来进行证明 面对授课学生的情况和需求，本课时着重于帮助他们利用已有的知识，自行探索二次 三项式因式分解方法，并通过具体问题加以验证 本节课中所用的方法，仿照一元

7、二次求根公式的配方法，对二次三项式 ax2+bx+c(a0)进 行配方，通过配方成平方差（或平方和）的形式来处理在此基础上直接发现二次三项式 因式分解的公式，并找到其与一元二次方程求根公式之间的联系让学生对这节课的知识 点有更深入的理解和感受2唤醒相关旧知，铺设配方通途唤醒相关旧知，铺设配方通途 对于八年级的学生，只有配方法是最容易想到的对二次三项式进行因式分解的合理方 法但是，难点在于帮助他们自然地想到使用配方的手段来处理因此，在教学内容的引入部分，给出两个简单的因式分解问题，帮助学生意识到，可以使用平方224,3xx差的方法解决上述形式的二次二项式 对于一般的二次三项式 ax2+bx+c(

8、a0)，则可以通过配方转化为上述的二次二项式的 形式练习题的前三个是变式训练：(1)；(2)两题回顾七年级的做法，并帮助学2221(1)xxx 223(1)(3)xxxx生注意到他们之间的关系(3)无法直接用过去的因式分解方法解决，此处学生若无法主动得出结论，引导224xx学生关注(1)(2)(3)小题的联系，即：，2223(1)4xxx2224(1)5xxx3运用配方方法，得出初步结论运用配方方法，得出初步结论 学生运用配方方法，应该能够很好地处理问题(3)，2224(1)5(15)(15)xxxxx 然后抛出问题(4)，研究的因式分解224xx第九届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动第

9、3 页 共 9 页这个问题，对学生是一个重大难点，处理方式可能会有多种不同的方法经过尝试后， 应该会得出无法因式分解的结论但是可能会有以下几种情况，视具体情形来进行处理 (1)学生知道结论，但是无法说清楚理由，又分成以下几种情形： a)无法清晰讲出原因；b)应用配方：得到平方和，所以无法分解；2224(1)3xxxc)过去提前学过，知道其与方程 x2-2x+4=0 是否有实根有关，但是不知道原因 对于情况 b)的学生，应该让其知晓，不能使用之前的配方法因式分解，并不代表无法 因式分解 对于情况 c)的学生，首先肯定他的结果，并且可以告诉学生这是今天要学习的内容， 并且告诉他们应该要理解每一个数

10、学定理的来龙去脉此时，可以提醒学生，将问题化归为的因式分解研究，利用待定系数法，不考23x 虑二次项系数，一定分解为，其中 m 和 n 为常数，于是，将23x 23()()xxm xn得到：，即 a2=-3，不存在实数 a，因此无法因式分解同时也代表一切化为平03abab 方和形式的二次三项式都无法在实数范围内因式分解 (2)学生能够解释原因 因为部分学生能力较强，完全有可能有学生能够解释原因应该都是想到使用待定系数法研究，有以下几种可能：2224()()4mnxxxm xnmna)通过代数式运算（比如：等） ，得到矛盾22240,()120mnmn b)利用特殊值法，若取 x=m，则 m2-

11、2m+4=0，不存在这样的实数 mc)直接应用韦达定理，得到 m 和 n 为方程的两根，得到矛盾2240xx对于使用韦达定理的同学，应当予以鼓励，但是必须指出，其他同学可能还不清楚什 么是韦达定理，应尽可能用学过的知识来进行思考 对于使用 a),b)方法说明的同学，应当给予肯定，但是之后应当继续引导学生思考，怎 样发现 x2-2x+4 不可以在实数范围内因式分解，有什么判别方法最终回到配方法，来进 行说明 并让学生总结，得出初步结论： (1)如果可以通过配方转化为平方差的形式，则可以在实数范围内因式分解； (2)如果通过配方转为成为平方和的形式，则不可以在实数范围内因式分解4特殊走向一般，归纳

12、最终结论特殊走向一般，归纳最终结论 让学生使用配方法研究：ax2+bx+c(a0)的因式分解 因为之前很少遇到全为字母的形式，而且牵涉到比较复杂的讨论，学生可能会遇到的 错误有以下几种，应用实物投影仪，进行展示，指出这些容易出错的地方，并由老师最终 板演，让学生进行归纳：第九届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动第 4 页 共 9 页(1)，学生直接将二次项系数 a 除掉让学生意识2 22 24()24bbacaxbxcxaa到，对于方程，可以利用等式性质作上述处理，但是多项式不能做上述操作(2)，学生默认 a 是正数，并且直接将 a 写成2 224()42bbacaxbxcaxaa，应当指出

13、这种错误，并且说明为了减少讨论和运算难度，应该将字母 a 提出来2()a(3)222 22 2444()()()2422bbacbbacbbacaxbxca xa xxaaaa，这种错误是不对的正负进行讨论，直接开平方24bac(4)其他运算错误 老师应指出以上错误，帮助学生理解代数式变形中的等价性 在得到正确的结果后，由学生进行总结，并思考和已经学过的什么知识有联系引导学生发现其与方程：(a0)之间的联系，并能用(a0)的20axbxc20axbxc求根来进行二次三项式：(a0)的因式分解2axbxc学生应该能发现方程和多项式因式分解之间有关系，但是 b2-4ac0 的情况，对于给 出最终结

14、论可能有一定的难度教师应写出来，帮助学生进行比较：的两个实数根：；20axbxc221244,22bbacbbacxxaa 222 22 2444()()()2422bbacbbacbbacaxbxca xa xxaaaa，以得到最终结221244()()()()22bbacbbaca xxa xxxxaa 果鉴于以上，本课时内容的教学难点如下： 1、通过配方法研究多项式 ax2+bx+c 如何在实数范围内进行因式分解 2、通过对于 ax2+bx+c 的因式分解，发现其与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的关系四、教学支持条件分析四、教学支持条件分析 本课时内容主要以老师黑板板演和学生解答展

15、示为主通过师生之间的对话，关注怎 么做？为什么？层层推进借助不同的问题，不断深入研究，从特殊到一般，加深学生对 该知识点的理解 （1）黑板黑板 用以老师的推导过程和结论的展示，左半边黑板在使用投影仪的时候会被第九届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动第 5 页 共 9 页遮住，主要进行一些解题过程的展示，右边黑板进行主要结论的推导和提纲性的说明 （2）实物投影仪实物投影仪 用以学生的解答展示，提供典型错误和正确做法，帮助学生更好理 解 （3）投影仪投影仪 将总结内容做成 PPT 进行投影，加深学生对于所学知识的印象 五、教学过程设计五、教学过程设计教师活动教师活动学生活动与预设学生活动与预设设计意图设计意图1、复习引入复习引入 1、因式分解的意义 回顾：什么是因式分解？2、习题引入（1）x2-4 （2）x2-3 如何因式分解？3、引出本节课研究内容： 形如 ax2+bx+c(a0)的二 次三项式在实数范围内的 因式分解回顾因式分解的意义 将一个多项式化为几个整式的 积的形式学生口答： x2-4=(x-2)(x+2)23(3)(3)xxx唤醒学生对于因式分解的记 忆，并为之后的研究作铺 垫回顾因式分解的基本方法 公式法（平方差） 并通过这