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1、 专题 函数的周期性一 知识点精讲1周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得( )f xxT恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则()( )f xTf x( )f xT( )f x（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周kT,0kZ k( )f x( )f x 期周期函数的定义域一定是无限集 2 性质 若 f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为 f(x)的最小正周期；若周期函数 f(x)的周期为 T，则是周期函数，且周期为。)( xf)0(|T3几种特殊的具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数） yf xx0a （1），则的周期
2、f xf xa yf xTa（2），则的周期 f xaf x xf2Ta（3），则的周期 1f xaf x xf2Ta（4），则的周期f xaf xa xf2Ta（5），则的周期1( )()1( )f xf xaf x xf2Ta（6），则的周期数1( )()1( )f xf xaf x xf4Ta（7），则的周期1( )()1( )f xf xaf x xf4Ta（8）函数满足（） ，若为奇函数，则其周期为( )yf x()()f axf ax0a ( )f x，若为偶函数，则其周期为4Ta( )f x2Ta（9）函数的图象关于直线和都对称，则函数( )yf xxRxaxbab是以为周期的周
3、期函数( )f x2 ba（10）函数的图象关于两点、都对称，则函( )yf xxR0,A a y0,B b yab数是为周期的周期函数( )f x2 ba（11）函数的图象关于和直线都对称，则函数( )yf xxR0,A a yxbab是以为周期的周期函数( )f x4 ba(12)，则的周期.)-()()(axfxfaxf)(xfaT6二 典例解析1设 f(x)是(, +)上的奇函数，f(x+2)= f(x)，当 0x1 时，f(x)=x，则 f(7.5)=( ) A.0.5 B. 0.5 C.1.5 D. 1.52若 y=f(2x)的图像关于直线和对称，则 f(x)的一个周期为（ ）2a
4、x )(2abbxA B C D2ba )(2ab 2ab )(4ab 3已知( )f x在 R 上是奇函数满足，则 2) 1 (),()3(fxfxf)5(f4已知定义在 R 上的奇函数满足，则= )(xf)()2(xfxf)2008(f例 5已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数( )yf xR5T 是奇函数头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头又知在上是一次函数，在上是二次函( )( 11)yf xx ( )yf x0,11,4数，且在时函数取得最小值。2x 5证明：； 求的解析式；求在(1)(4)0ff(
5、),1,4yf x x( )yf x上的解析式。4,99、函数定义域为 R，且恒满足和，当)(xfy )2()2(xfxf)6()6(xfxf时，求解析式。62 xxxf212)()(xf10、已知偶函数定义域为 R，且恒满足，若方程)(xfy )2()2(xfxf在上只有三个实根，且一个根是 4，求方程在区间中的根。0)(xf 4 , 010, 8 附参考答案： ： ： ： ：y 轴即 ：y 轴1T12T)0 , 1 (3T1x4T0x5T1x： ：C ： 6T41x21x7T8T：9T ), 6828(2)8(21), 2828()8(21)( Zkkxk kxZkkxk kx xf：方程
6、的根为共 9 个根。10T1086420246 2.是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且，则方程在区间)(xf0) 1 (f0)(xf内解的个数的最小值是 （ ） )6 , 0(A5 B4 C3 D24.是偶函数，且为奇函数，则 f(1992)= ( )f x(0)993,( )(1)fg xf x又6.数列中 na122120061,5,nnnaaaaaa则7 已知是以2为周期的偶函数，且当时，.求在)(xf) 1 , 0(x1) 1(xxf)(xf上的解析式。)2 , 1 (8 的定义域是 R，且,若,求)(xf)(1)(1)2(xfxfxf2008)0(f的值。)2008(f9已
7、知函数满足，若，试求(2005)。( )f x1( )(1)1( )f xf xf x(0)2004ff（2009 山东理）10. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ，则 0),2() 1(0),1 (log2xxfxfxxf（2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】:由已知得,2( 1)log 21f (0)0f(1)(0)( 1)1fff ,(2)(1)(0)1fff (3)(2)(1)1 ( 1)0fff ,(4)(3)(2)0( 1)1fff (5)(4)(3)1fff(6)(5)(4)0fff所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,
8、所以 f（2009）= f（5）=1,故选 C.（2009 山东理）16.已知定义在 R 上的奇函数，满足,且在区间0,2)(xf(4)( )f xf x 上是增函数,若方程 f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则8 , 81234,x x x xw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1234_.xxxx【解析】:因为定义在 R 上的奇函数，满足,所以,所以, (4)( )f xf x (4)()f xfx由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知)(xf2x (0)0f(4)( )f xf x ,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,(8)( )f x
9、f x)(xf所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m0)在区间上有四)(xf8 , 8个不同的根,不妨设由对称性知所以1234,x x x x1234xxxx1212xx 344xx-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 12341248xxxx 答案:-8（2009 全国一） （11）函数的定义域为 R，若与都是奇函数，则( ( )f x(1)f x(1)f xD ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)f x
10、解: 与都是奇函数，(1)f x(1)f x(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期( )f x(1,0)( 1,0)( )f x21 ( 1)4T 函数.，即是奇函数。(14)(14)fxf x (3)(3)fxf x (3)f x故选 D专题专题 函数对称性函数对称性 一 知识点精讲：I 函数图象本身的对称性（自身对称自身对称）)(xfy 若，则具有周期性；若，则具有()()f xaf xb ( )f x()()f axf bx ( )f x对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性” 。1、图象关于直线对称)()(xbfxaf)(xfy 22)
11、()(baxbxax推论 1：的图象关于直线对称)()(xafxaf)(xfy ax 推论 2、的图象关于直线对称)2()(xafxf)(xfy ax 推论 3、的图象关于直线对称)2()(xafxf)(xfy ax 2、的图象关于点对称cxbfxaf2)()()(xfy ),2(cba 推论 1、的图象关于点对称bxafxaf2)()()(xfy ),(ba推论 2、的图象关于点对称bxafxf2)2()()(xfy ),(ba推论 3、的图象关于点对称bxafxf2)2()()(xfy ),(baII 两个函数的图象对称性（相互对称相互对称） （利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、与
12、图象关于 Y 轴对称)(xfy )( xfy2、与图象关于原点对称函数)(xfy )( xfy3、函数与图象关于 X 轴对称)(xfy ( )yf x 4、函数与其反函数图象关于直线对称)(xfy 1( )yfxyx5.函数与图象关于直线对称 )(xafy)(xbfy2abx推论 1:函数与图象关于直线对称)(xafy)(xafy0x推论 2:函数与图象关于直线对称)(xfy )2(xafyax 推论 3:函数与图象关于直线对称)( xfy)2(xafyax二 典例解析： 1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时, )(xf)1 ()1 (xfxf)0 , 1(x,则_。512)(xxf)20(
13、log2f解析：关于直线对称，又是奇函数，)(xfy 1x)2()(xfxf)(xf，故有，,)()(xfxf)()2(xfxf4T)420(log)20(log22 ff1512)54(log)45(log45log222ff2、已知函数满足，则图象关于_对称。)(xfy 0)2()(xfxf)(xfy 解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知图象关于对称)(xfy )0 , 1 (3、函数与函数的图象关于关于_对称。) 1( xfy)1 (xfy解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于对称1x 4、设函数的定义域为 R，且满足，则的图象关于)(xfy )1 () 1(xfxf)(xfy _对称。 解析：这是一个函数的对称性，的图象关于 y 轴即对称)(xfy 0x5、设函数的定义域为 R，且满足，则的图象)(xfy )1 () 1(xfxf) 1(
