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1、第四关第四关 以平面几何图形的变换为背景的解答题以平面几何图形的变换为背景的解答题1如图1， ABCA中， CDAB于D，且:2:3:4BD AD CD （1）试说明ABCA是等腰三角形（2）已知240cmABCSA，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止设点M运动的时间为t（秒） 若DMNA的边与BC平行，求t的值若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中， MDEA能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由【答案】 （1）见解析；（2）t为5或6；能， t值为9或1
2、0或49 6，理由见解析在 RtACD 中，AC22ADCD5x，ABAC，ABC 是等腰三角形；（2）解：SABC1 25x4x40cm2，而 x0，x2cm，则 BD4cm，AD6cm，CD8cm，AC10cm当 MNBC 时，AMAN，即 10tt，t5；当 DNBC 时，ADAN，得：t6；若DMN 的边与 BC 平行时，t 值为 5 或 6当点 M 在 BD 上，即 0t4 时，MDE 为钝角三角形，但 DMDE；当 t4 时，点 M 运动到点 D，不构成三角形，当点 M 在 DA 上，即 4t10 时，MDE 为等腰三角形，有 3 种可能如果 DEDM，则 t45，t9；如果 ED
3、EM，则点 M 运动到点 A，t10；如果 MDMEt4，过点 E 做 EF 垂直 AB 于 F，因为 EDEA，所以 DFAF1 2AD3，在 RtAEF 中，EF4；点睛：本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果学/科*网2定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形” （1）理解：如图 1，已知四边形 ABCD 是“垂直四边形”，对角线 AC，BD 交于点 O，AC=8，BD=7，求四边形 ABCD的面积.（2）探究：小明对 “垂直四边形”ABCD（如图 1）进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边
4、的平方和即2222ABCDADBC你认为他的发现正确吗？试说明理由（3）应用： 如图 2，在ABC 中， 90ACB，AC=6，BC=8，动点 P 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 5 个单位的速度向点 B 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 6 个单位的速度向点 A 匀速运动，运动时间为 t 秒（01t ） ，连结 CP，BQ，PQ当四边形 BCQP 是“垂直四边形”时，求 t 的值 如图 3，在ABC 中，AB=3AC，分别以 AB，AC 为边向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，连结 EG请直接写出线段 EG 与 BC 之间的数量关系【答案】 （1）28；
5、（2）证明见解析；（3）2 9；223 2EGBC 【解析】试题分析：（1）由于对角线互相垂直，所以四边形 ABCD 的面积可化为1 2AOBD+1 2COBD 的和；（2）由于对角线互相垂直，由勾股定理分别表示出 AB2、CD2、AD2、BC2；（3）过点 P 作 PDAC 于点 D，构造PADBAC 后，利用 BP2+CQ2=PQ2+BC2列出关于 t 的方程；故答案为：28；（2）四边形 ABCD 是“垂直四边形”，ACBD.由勾股定理可知：AB2+CD2=(AO2+BO2)+(DO2+CO2)，AD2+BC2=(AO2+DO2)+(BO2+CO2)，AB2+CD2=AD2+BC2； A
6、P=5t，CQ=6tADPD5t 6810，AD=3t，PD=4t. 四边形 BCQP 是“垂直四边形”.BP2+CQ2=PQ2+BC2.(10-5t)2+(6t)2=(6-9t)2+82，解得 t=2 9或 t=0（舍去）. 当四边形 BCQP 是“垂直四边形”时，t 的值为2 9.如图 3，连接 CG、BG、BE、CE，CE 与 BG 交于点 O由题意知：EA=BA，AC=AGEAB=CAG=90EAB+BAC=CAG+BACEAC=BAG在EAC 与BAG 中 EABAEACBAGACAG ，点睛：本题考查的是垂直四边形的概念和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，正确理解垂直
7、四边形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键.3在四边形ABCD中， 180BD ，对角线AC平分BAD.学科网（1）如图 1，若120DAB，且90B，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.（2）如图 2，若将（1）中的条件“90B”去掉， （1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图 3，若90DAB，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.【答案】 （1）ACADAB.证明见解析；（2）成立；（3）2ADABAC.理由见解析.【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB，只要证明 AD=1 2AC，AB=1 2AC 即可解决问题；（2） （1）中的结论成立以 C
8、 为顶点，AC 为一边作ACE=60，ACE 的另一边交 AB 延长线于点 E，只要证明DACBEC 即可解决问题；（3）结论：AD+AB2AC过点 C 作 CEAC 交 AB 的延长线于点 E，只要证明ACE 是等腰直角三角形，DACBEC 即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB理由如下：如图 1 中，（2） （1）中的结论成立，理由如下：以 C 为顶点，AC 为一边作ACE=60，ACE 的另一边交 AB 延长线于点 E，BAC=60，AEC 为等边三角形，AC=AE=CE，D+ABC=180，DAB=120，DCB=60，（3）结论：AD+AB2AC理由如下：过点 C 作 C
9、EAC 交 AB 的延长线于点 E，D+B=180，DAB=90，DCB=90，ACE=90，DCA=BCE，又AC 平分DAB，CAB=45，E=45AC=CE又D+ABC=180，D=CBE，CDACBE，AD=BE，AD+AB=AE在 RtACE 中，CAB=45，AE245ACACcos2ADABAC.4ABC 和CDE 是以 C 为公共顶点的两个三角形（1）如图 1，当ABC 和CDE 都是等边三角形时，连接 BD、AE 相交于点 P求DPE 的度数；（2）如图 2，当ABC 和CDE 都是等腰直角三角形，且ACB=DCE=90时，连接 AD、BE，Q 为AD 中点，连接 QC 并延
10、长交 BE 于 K求证：QKBE；（3）在（1）的条件下，N 是线段 AE 与 CD 的交点，PF 是DPE 的平分线，与 DC 交于点F，CN=2，PFN=45，求 FN 的长2【答案】 （1）60；（2）见解析；（3）2 63DE、NE,再利用相似三角形的性质可得 DE2=NEPE，求出 PE、PN,由此即可解决问题;解：（1）如图 1 中，设 AE 交 CD 于 JDPE=60（2）如图 2 中，延长 CQ 到 R，使得 CQ=QR，连接 AR、DRABC 和CDE 都是等腰直角三角形，学/+科网ACB=DCE=90，AC=BC，CE=CD，BCE+ACD=180，AQ=DQ，CQ=QR
11、，四边形 ACDR 是平行四边形，CKB=90，即 CKBE（3）如图 3 中，作 NHEC 于 H，NGPF 于 G，在 EH 上取一点 K 使得 NK=EKDPE=60，PF 平分DPE，NPPF=30，PFN=45，NGF=90，GF=GN=PN，FN=GN，PNF=CNE=105，CEN=15，KN=KE，KNE=KEN=15，NKH=30，在 RtCNH 中，CN=2，CNH=30，CH=CN=，NH=CH=，在 RtNKH 中，NK=KE=2NH=2，HK=NH=3，EN=6+2，CE=DE=4+2DEN=PED，EDN=EPD，DENPED，DE2=NEPE，可得 PE=，PN=
12、PEEN=，FN=5在正方形 ABCD 中，动点 E，F 分别从 D，C 两点同时出发，以相同的速度在直线 DC，CB 上移动（1）如图，当点 E 自 D 向 C，点 F 自 C 向 B 移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，请你写出 AE 与 DF 的位置关系，并说明理由；（2）如图，当 E，F 分别移动到边 DC，CB 的延长线上时，连接 AE 和 DF， （1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不须证明）（3）如图，当 E，F 分别在边 CD，BC 的延长线上移动时，连接 AE，DF， （1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图，当 E，F 分别在边 DC，CB 上
13、移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，由于点 E，F 的移动，使得点 P 也随之运动，请你画出点 P 运动路径的草图若 AD=2，试求出线段 CP 的最小值【答案】 （1）AE=DF，AEDF；（2）是；（3）成立，理由见解析；（4）CP=QCQP=51【解析】试题分析：（1）AE=DF，AEDF先证得ADEDCF由全等三角形的性质得AE=DF，DAE=CDF，再由等角的余角相等可得 AEDF；（2）是四边形 ABCD 是正方形，所以 AD=DC，ADE=DCF=90，DE=CF，所以ADEDCF，于是 AE=DF，DAE=CDF，因为CDF+ADF=90，DAE+ADF=90，所以 AE
14、DF；（3）成立由（1）同理可证 AE=DF，DAE=CDF，延长 FD 交 AE 于点 G，再由等角的余角相等可得 AEDF；（4）由于点 P 在运动中保持APD=90，所以点 P 的路径是一段以 AD 为直径的弧，设 AD 的中点为 Q，连接 QC 交弧于点 P，此时 CP 的长度最小，再由勾股定理可得 QC 的长，再求 CP 即可理由：由（1）同理可证 AE=DF，DAE=CDF延长 FD 交 AE 于点 G，则CDF+ADG=90，ADG+DAE=90AEDF；（4）如图：由于点 P 在运动中保持APD=90，点 P 的路径是一段以 AD 为直径的弧，设 AD 的中点为 Q，连接 QC
15、 交弧于点 P，此时 CP 的长度最小，在 RtQDC 中，QC=2222CD +QD = 2 +1 = 5，CP=QCQP=5-1考点：四边形的综合知识6如图 1 所示，在正方形 ABCD 和正方形 CGEF 中，点 B、C、G 在同一条直线上，M 是线段 AE 的中点，DM 的延长线交 EF 于点 N，连接 FM，易证：DM=FM，DMFM（无需写证明过程）（1）如图 2，当点 B、C、F 在同一条直线上，DM 的延长线交 EG 于点 N，其余条件不变，试探究线段DM 与 FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图 3，当点 E、B、C 在同一条直线上，DM 的延长线交 CE 的延长线于点 N，其余条件不变，探究线段 DM 与 FM 有怎样的关系？请直接写出猜想【答案】 （1）DMFM，DM=FM，证明见解析；（2）DMFM，
