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1、 3.523.52 轴对称全章复习与巩固(提高)轴对称全章复习与巩固(提高)【学习目标学习目标】 1. 认识轴对称、轴对称图形,理解轴对称的基本性质及它们的简单应用; 2. 了解垂直平分线的概念,并掌握其性质; 3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念,并掌握它们的性质以及判定方法. 【知识网络知识网络】【要点梳理要点梳理】 要点一、轴对称要点一、轴对称 1.1.轴对称图形和轴对称轴对称图形和轴对称 (1)轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直 线就是它的对称轴.轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的
2、垂直平分线. (2)轴对称定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直 线对称,这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质: 关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形; 如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; 两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上. (3)轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形;轴对称涉及两个图形, 而轴对称图形是对一个图形来说的.联系:如果把一个轴对称图形沿对称轴
3、分成两个图形,那么这两个图形关 于这条轴对称;如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形 2.2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来,与一条线段 两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 要点二、作轴对称图形要点二、作轴对称图形 1.1.作轴对称图形作轴对称图形 (1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,就可 以得到原图形的轴对称图形; (2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点, 连接这些
4、对称点,就可以得到原图形的轴对称图形. 2.2.用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称点(,)关于轴对称的点的坐标为(,);点(,)关于轴对称的点的坐标为(,xyxxyxyyx );点(,)关于原点对称的点的坐标为(,).yxyxy 要点三、等腰三角形要点三、等腰三角形 1.1.等腰三角形等腰三角形(1)定义:有两边相等的三角形,叫做等腰三角形. (2)等腰三角形性质等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角” ; 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一” ).特别地, 等腰直角三角形的每个底角都等于 45. (3)等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么
5、这两个角所对的边也相等(即“等角对等 边” ). 2.2.等边三角形等边三角形(1)定义:三条边都相等的三角形,叫做等边三角形. (2)等边三角形性质:等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于 60. (3)等边三角形的判定:三条边都相等的三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形. 3.3.直角三角形的性质定理:直角三角形的性质定理: 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题典型例题】类型一、轴对称的性质与应用类型一、轴对称的性质与应用1、如图,由四个小正方形组成的田字格中,ABC 的顶点都是小正
6、方形的顶点在田字格上画与ABC 成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形(不包含ABC 本身)共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【思路点拨思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴,来找三角形. 【答案答案】C; 【解析解析】先把田字格图标上字母如图,确定对称轴找出符合条件的三角形,再计算个数 HEC 与ABC 关于 CD 对称;FDB 与ABC 关于 BE 对称;GED 与ABC 关于 HF 对称;关于 AG 对称 的是它本身所以共 3 个【总结升华总结升华】本题考查了轴对称的性质;确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键举一反三:
7、举一反三:【变式】如图,ABC 的内部有一点 P,且 D,E,F 是 P 分别以 AB,BC,AC 为对称轴的对称点若ABC 的内 角A70,B60,C50,则ADBBECCFA( )A.180 B.270 C.360 D.480【答案答案】C; 解:连接 AP,BP,CP, D,E,F 是 P 分别以 AB,BC,AC 为对称轴的对称点 ADBAPB,BECBPC,CFAAPC, ADBBECCFAAPBBPCAPC3602、已知MON40,P 为MON 内一定点,OM 上有一点 A,ON 上有一点 B,当PAB 的周长取最小值时, 求APB 的度数.【思路点拨思路点拨】求周长最小,利用轴对
8、称的性质,找到 P 的对称点来确定 A、B 的位置,角度的计算,可以通过 三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算. 【答案与解析答案与解析】解:分别作 P 关于 OM、ON 的对称点,连接交 OM 于 A,ON 于 B.则PAB 为符合条件的三角形.1P2P12PPMON40140. 12PPPPAB,PBA.1PPA1 22P PB1 2 (PABPBA)APB1401 2 PABPBA2APB280 PAB, PBA1P1PPA2P2P PB180 1P2P12PPPAPB100【总结升华总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型,将周长的三条线段的和转化为一条线段,这样取得周长的最小值.举
9、一反三:举一反三:【变式】如图,在五边形 ABCDE 中,BAE120,BE90,ABBC,AEDE,在 BC,DE 上分别找 一点 M,N,使得AMN 的周长最小时,则AMNANM 的度数为( ) A1 00 B110 C 120 D 130【答案答案】C;提示:找 A 点关于 BC 的对称点,关于 ED 的对称点,连接,交 BC 于 M1A2A12A A点,ED 于 N 点,此时AMN 周长最小. AMNANM180MAN,而 2BAMAMN,2EANANM,BAMEANMAN120,所以AMNANM120.3、如图,ABC 关于平行于轴的一条直线对称,已知 A 点坐标是(1,2) ,C
10、点坐标是(1,4) ,则x 这条平行于轴的直线是( )x A.直线1 B.直线3 C.直线1 D.直线3xxyy【思路点拨思路点拨】根据题意,可得 A、C 的连线与该条直线垂直,且两点到此直线的距离相等,从而可以解出该直 线 【答案答案】C; 【解析解析】 解:由题意可知,该条直线垂直平分线段 AC 又 A 点坐标是(1,2) ,C 点坐标是(1,4) AC6 点 A,C 到该直线的距离都为 3 即可得直线为1y 【总结升华总结升华】本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用,解决此类题应认真观察图形,由 A 与 C 的 纵坐标求得对称轴举一反三:举一反三:【变式 1】如图,若直线经过第二
11、、四象限,且平分坐标轴的夹角,RtAOB 与 Rt关于直线对mA OBm 称,已知 A(1,2) ,则点的坐标为( )A A.(1,2) B.(1,2) C.(1,2) D.(2,1)【答案答案】D; 提示:因为 RtAOB 与 Rt关于直线对称,所以通过作图可知,的坐标是A OBmA(2,1) 【变式 2】如图,ABC 中,点 A 的坐标为(0,1) ,点 C 的坐标为(4,3) ,点 B 的坐标为 (3,1) ,如果要使 ABD 与 ABC 全等,求点 D 的坐标 【答案答案】 解:满足条件的点 D 的坐标有 3 个(4,1) ;(1,1) ;(1,3).类型二、等腰三角形的综合应用类型二
12、、等腰三角形的综合应用4、 (20122012牡丹江)牡丹江)如图,ABC 中AB=AC,P 为底边 BC 上一点,PEAB,PFAC,CHAB,垂足分 别为 E、F、H易证 PE+PF=CH证明过程如下:如图,连接 AP PEAB,PFAC,CHAB,=ABPE,=ACPF,=ABCHABPS1 2ACPS1 2ABCS1 2又,ABPACPABCSSSABPE+ACPF=ABCHAB=AC,PE+PF=CH1 21 21 2 (1)如图,P 为 BC 延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想, 并加以证明: (2)填空:若A=30,ABC 的面积为
13、 49,点 P 在直线 BC 上,且 P 到直线 AC 的距离为 PF,当 PF=3 时, 则 AB 边上的高 CH=_.点 P 到 AB 边的距离 PE=_. 【答案答案】7;4 或 10; 【解析解析】 解:(1)如图,PE=PF+CH证明如下: PEAB,PFAC,CHAB,=ABPE,=ACPF,=ABCH,ABPS1 2ACPS1 2ABCS1 2=+,ABPSACPSABCSABPE=ACPF+ABCH,1 21 21 2 又AB=AC, PE=PF+CH;(2)在ACH 中,A=30, AC=2CH=ABCH,AB=AC,ABCS1 22CHCH=49,1 2 CH=7 分两种情
14、况: P 为底边 BC 上一点,如图 PE+PF=CH, PE=CH-PF=7-3=4; P 为 BC 延长线上的点时,如图 PE=PF+CH, PE=3+7=10 故答案为 7;4 或 10 【总结升华总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积,难度适中,运用面积证明可使问题简便,(2) 中分情况讨论是解题的关键5、已知,如图,112,236,348,424. 求的度数ADB【答案与解析答案与解析】 解:将沿 AB 翻折,得到,连结 CE,ABDABE 则,ABDABE1512.,BDBEADBAEB 60125EBC 483ABC ABAC又236,72,34BCD ,BDCBCD BDBC BEBC 为等边三角形. BCE .BECE又垂直平分 BC,ABACAEAE 平分BEC301 2AEBBECADB30 【总结升华总结升华】直接求很难,那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形,从而ADBABD 使其换个位置,看看会不会容易求举一反三:举一反三:【变式】在ABC 中,ABAC,BAC80,D 为形内一点,且DAB