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1、 3.523.52 轴对称全章复习与巩固（提高）轴对称全章复习与巩固（提高）【学习目标学习目标】 1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用； 2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质； 3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法. 【知识网络知识网络】【要点梳理要点梳理】 要点一、轴对称要点一、轴对称 1.1.轴对称图形和轴对称轴对称图形和轴对称 （1）轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的
2、垂直平分线. （2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直 线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： 关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； 如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形， 而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴
3、分成两个图形，那么这两个图形关 于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 2.2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段 两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 要点二、作轴对称图形要点二、作轴对称图形 1.1.作轴对称图形作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可 以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点， 连接这些
4、对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2.2.用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（,xyxxyxyyx ）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（,）.yxyxy 要点三、等腰三角形要点三、等腰三角形 1.1.等腰三角形等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角” ； 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一” ）.特别地， 等腰直角三角形的每个底角都等于 45. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么
5、这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边” ）. 2.2.等边三角形等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于 60. （3）等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形. 3.3.直角三角形的性质定理：直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题典型例题】类型一、轴对称的性质与应用类型一、轴对称的性质与应用1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，ABC 的顶点都是小正
6、方形的顶点在田字格上画与ABC 成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含ABC 本身）共有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【思路点拨思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形. 【答案答案】C； 【解析解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数 HEC 与ABC 关于 CD 对称；FDB 与ABC 关于 BE 对称；GED 与ABC 关于 HF 对称；关于 AG 对称 的是它本身所以共 3 个【总结升华总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键举一反三：
7、举一反三：【变式】如图，ABC 的内部有一点 P，且 D，E，F 是 P 分别以 AB，BC，AC 为对称轴的对称点若ABC 的内 角A70，B60，C50，则ADBBECCFA（ ）A.180 B.270 C.360 D.480【答案答案】C； 解：连接 AP，BP，CP， D，E，F 是 P 分别以 AB，BC，AC 为对称轴的对称点 ADBAPB，BECBPC，CFAAPC， ADBBECCFAAPBBPCAPC3602、已知MON40，P 为MON 内一定点，OM 上有一点 A，ON 上有一点 B，当PAB 的周长取最小值时， 求APB 的度数.【思路点拨思路点拨】求周长最小，利用轴对
8、称的性质，找到 P 的对称点来确定 A、B 的位置，角度的计算，可以通过 三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算. 【答案与解析答案与解析】解：分别作 P 关于 OM、ON 的对称点，连接交 OM 于 A，ON 于 B.则PAB 为符合条件的三角形.1P2P12PPMON40140. 12PPPPAB,PBA.1PPA1 22P PB1 2 (PABPBA)APB1401 2 PABPBA2APB280 PAB, PBA1P1PPA2P2P PB180 1P2P12PPPAPB100【总结升华总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.举
9、一反三：举一反三：【变式】如图，在五边形 ABCDE 中，BAE120，BE90，ABBC，AEDE，在 BC，DE 上分别找 一点 M，N，使得AMN 的周长最小时，则AMNANM 的度数为（ ） A1 00 B110 C 120 D 130【答案答案】C；提示：找 A 点关于 BC 的对称点，关于 ED 的对称点，连接，交 BC 于 M1A2A12A A点，ED 于 N 点，此时AMN 周长最小. AMNANM180MAN，而 2BAMAMN，2EANANM，BAMEANMAN120,所以AMNANM120.3、如图，ABC 关于平行于轴的一条直线对称，已知 A 点坐标是（1，2） ，C
10、点坐标是（1，4） ，则x 这条平行于轴的直线是（ ）x A.直线1 B.直线3 C.直线1 D.直线3xxyy【思路点拨思路点拨】根据题意，可得 A、C 的连线与该条直线垂直，且两点到此直线的距离相等，从而可以解出该直 线 【答案答案】C； 【解析解析】 解：由题意可知，该条直线垂直平分线段 AC 又 A 点坐标是（1，2） ，C 点坐标是（1，4） AC6 点 A，C 到该直线的距离都为 3 即可得直线为1y 【总结升华总结升华】本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用，解决此类题应认真观察图形，由 A 与 C 的 纵坐标求得对称轴举一反三：举一反三：【变式 1】如图，若直线经过第二
11、、四象限，且平分坐标轴的夹角，RtAOB 与 Rt关于直线对mA OBm 称，已知 A（1，2） ，则点的坐标为（ ）A A.（1，2） B.（1，2） C.（1，2） D.（2，1）【答案答案】D； 提示：因为 RtAOB 与 Rt关于直线对称，所以通过作图可知，的坐标是A OBmA（2，1） 【变式 2】如图，ABC 中，点 A 的坐标为（0，1） ，点 C 的坐标为（4，3） ，点 B 的坐标为 （3，1） ，如果要使 ABD 与 ABC 全等，求点 D 的坐标 【答案答案】 解：满足条件的点 D 的坐标有 3 个（4，1） ；（1，1） ；（1，3）.类型二、等腰三角形的综合应用类型二
12、、等腰三角形的综合应用4、 （20122012牡丹江）牡丹江）如图，ABC 中AB=AC，P 为底边 BC 上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分 别为 E、F、H易证 PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接 AP PEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCHABPS1 2ACPS1 2ABCS1 2又，ABPACPABCSSSABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH1 21 21 2 （1）如图，P 为 BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想， 并加以证明： （2）填空：若A=30，ABC 的面积为
13、 49，点 P 在直线 BC 上，且 P 到直线 AC 的距离为 PF，当 PF=3 时， 则 AB 边上的高 CH=_.点 P 到 AB 边的距离 PE=_. 【答案答案】7；4 或 10； 【解析解析】 解：（1）如图，PE=PF+CH证明如下： PEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCH，ABPS1 2ACPS1 2ABCS1 2=+，ABPSACPSABCSABPE=ACPF+ABCH，1 21 21 2 又AB=AC， PE=PF+CH；（2）在ACH 中，A=30， AC=2CH=ABCH，AB=AC，ABCS1 22CHCH=49，1 2 CH=7 分两种情
14、况： P 为底边 BC 上一点，如图 PE+PF=CH， PE=CH-PF=7-3=4； P 为 BC 延长线上的点时，如图 PE=PF+CH， PE=3+7=10 故答案为 7；4 或 10 【总结升华总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2） 中分情况讨论是解题的关键5、已知，如图，112，236，348，424. 求的度数ADB【答案与解析答案与解析】 解：将沿 AB 翻折，得到，连结 CE，ABDABE 则，ABDABE1512.,BDBEADBAEB 60125EBC 483ABC ABAC又236，72，34BCD ,BDCBCD BDBC BEBC 为等边三角形. BCE .BECE又垂直平分 BC,ABACAEAE 平分BEC301 2AEBBECADB30 【总结升华总结升华】直接求很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形，从而ADBABD 使其换个位置，看看会不会容易求举一反三：举一反三：【变式】在ABC 中，ABAC，BAC80，D 为形内一点，且DAB
