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1、2.2 欧拉平衡微分方程,讨论在平衡状态下,作用于液体上的表面力和质量力之间应满足的关系,建立表示液体平衡的微分方程。,2.2.1欧拉平衡微分方程,2.2.2重力下流体的压强分布规律,2.2.1 欧拉平衡微分方程,一、欧拉平衡微分方程的推导,二、欧拉平衡微分方程的综合形式,三、质量力的势函数、有势力、等压面,一、欧拉平衡微分方程的推导,如图2.5,在平衡液体中,取一微小六面体,为研究的方便,使其各边分别平行于坐标轴,边长分别为:dx, dy, dz,其形心点为M(x, y, z),点M的压强为p(x, y, z),图2.5,一、欧拉平衡微分方程的推导,由于六面体各面的形心到点M的距离很小,压强
2、在M点附近的变化可用泰勒级数表示,且可忽略二阶以上的微量,于是:,图2.5,分析作用于六面体表面的力:,(为简化,只讨论X方向,Y,Z方向同理可得),1.表面力:只有静水压力,一、欧拉平衡微分方程的推导,abdc面上的中心点M1(x-dx/2,y,z),其压强为:,abdc面上的中心点M2(x+dx/2,y,z),其压强为:,图2.5,M1,M2,一、欧拉平衡微分方程的推导,作用于abdc面上的静水总压力为:,作用于abdc面上的静水总压力为:,图2.5,一、欧拉平衡微分方程的推导,单位质量力在各坐标轴方向的分量为:X,Y,Z,六面体的质量为:,2.质量力F:,一、欧拉平衡微分方程的推导,根据
3、平衡条件Fx=0,则有:,除以dxdydz,得:,同理可得:,(2.2),(2.3),一、欧拉平衡微分方程的推导,欧拉平衡微分方程:表明,在静止液体中,静水压强沿某方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。,(2.3),二、欧拉平衡微分方程的综合形式,将欧拉平衡微分方程分别乘以dx,dy,dz,后相加得:,(2.4)综合形式(压强差公式),三、质量力的势函数、有势力、等压面,(2.4)式左边是p(x, y, z)的全微分,右边括号内各项之和也应是某一函数的全微分,这个函数是U (x, y, z) ,称为质量力的势函数, 简称力势函数。,有力势函数存在的力场,叫势场。,(2.4),三、质量力的
4、势函数、有势力、等压面,当力势函数存在时,有:,所以:,(2.5),只有当质量力是有势力时,液体才处于平衡状态,三、质量力的势函数、有势力、等压面,(2.5),(2.5)表明压强在空间的变化是由质量力引起的.,等压面:在同一种连续液体中,由压强相等的各点所组成的面。,在等压面上,压强p=常数(const),于是:,U=常数(const),所以等压面也是等势面,三、质量力的势函数、有势力、等压面,等压面的微分方程:,即:,(2.6)等压面的微分方程,dx,dy,dz是单位质量力的微小位移在各坐标轴方向的投影。(2.6)表明:单位质量力所做的微功等于零.,由于质量力和位移都不为零,所以在静止液体中
5、质量力与等压面正交。,三、质量力的势函数、有势力、等压面,因此,在质量力只有重力时,等压面为一水平面。常见的等压面:1.液体的自由表面2.不相混合的两种液体的交界面,图2.6,2.2.2 重力下流体的压强分布规律,一、重力下流体的压强分布规律推导,二、静水压强基本方程的意义,一、重力下流体的压强分布规律推导,静止的液体,所受的质量力只有重力,,则X=0,Y=0,Z=-g,,代入压强差公式:,取图2.7所示坐标系,,一、重力下流体的压强分布规律推导,对均质流体,=const,则:,即:,(2.8),上式表明,在重力作用下,不可压缩的静止液体中各点的 相等。,即对液体中的任两点:,(2.9)静力学
6、的基本方程,(2.7),一、重力下流体的压强分布规律推导,在自由表面上,,即:,若取h的方向与z相反,则:,(2.11)静水压强的基本方程,(2.10),h自由液面以下的淹没深度 p0 液面压强,则,z=z0=0, p=p0,,一、重力下流体的压强分布规律推导,(2)液重压强h即从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量。,式(2.11)静水压强的基本方程表明:,静止液体中的任一点的压强由两部分组成:,(1)表面压强 p0 (液面压强)等值传递到液体内各点(巴斯卡原理)。,一、重力下流体的压强分布规律推导,例2.1 一封闭水箱,如图2.8液面上压强p0 =120kN/m2,求h=0.4m处A点
7、的压强。,图2.8,二、静水压强基本方程的意义,水头和单位势能,式中:z位置高度(位置水头)是研究点相对于某一水平面(基准面)的高度,从能量的角度看, z是单位重量液体从某一基准面算起所具有的位置势能单位位能,下面从能量和几何的角度分析各项的意义,下面从能量和几何的角度分析各项的意义,:液柱高度(压强水头)研究点在自由液面以下的高度,从能量的角度看, 是单位重量液体所具有的压能单位压能,:测压管水头(测管水头),从能量的角度看, 是单位重量液体所具有的势能单位势能,式中各符号的规定,表明:静止液体内各点单位重量液体所具有的势能相等。,z 点在基准面以上为正,以下为负,研究点在自由液面以下为“+”,以上为“-”,在基准面以上为正,以下为负,式中各符号的正负规定如下:,各符号的规定举例,图2.9,各符号的规定练习,做练习, P24, 2.2,