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1、5.2 微分方程的定性分析,随着科学技术的发展，常微分方程定性分 析在各个学科领域已成为必不可少的数学工 具，也是数学建模的必备基础理论.,一. 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法,极少情况下，能够用初等函数或初等函数的积分表示微分方程的解.,求微分方程的数值解,解决方法,对微分方程进行定性分析,一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根 据方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在 整个区域内的分布状态.,微分方程定性分析,基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形 状, 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态.,研究对象：驻定系统,其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶n维驻定系统(自治
2、系统、动力系统).,若微分方程组,例5.2.1 单一质点非受迫直线运动满足方程,得一个二维驻定系统,一般二维驻定系统形式为,存在且唯一，则在三维空间(x, y, t)中有且仅有一条解曲线通过点(x0, y0, t0).,基本思想 将空间曲线投影到平面上进行分析.,定义：称平面 (x, y )为相平面，称解曲线 在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为 相位图.,x,y,t,o,t0,(x, y, t),解曲线,投影曲线 相轨线,轨线方程 由原方程（2）消去 t 而得到, 相 点的运动方向由原方程确定.,对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究.,使 P(x0, y0)= Q(x0, y0)=0 的
3、 (x0, y0)称为方程 (2)的平衡点.,二. 战斗模型分析,续例5.1.2 两方军队交战,希望为这场战斗建 立一个数学模型, 应用这个模型达到如下目的：,1. 预测哪一方将获胜？,2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？,3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵 才能赢得这场战斗？,记 x(t) t 时刻X方存活的士兵数；y(t) t 时刻Y方存活的士兵数；,有微分方程组：,4. 战斗持续时间？,（4）,初始条件为 x(0)=x0, y(0)=y0,模型分析:,1. 分析方程组,1）变量 x0，y0，有唯一平衡点(0, 0);,2）x(t)，y(t)都是单降函数, 且随着x, y 的减小
4、，衰减速度也在降低.,2. 分析相位图,1） 求相轨线方程，将两个方程相除，得,代入初始条件，有,双曲线族,2） 预测何方军队获胜, 将剩下多少士兵.,(1) 若 ,解曲线方程化为,一场势均力敌的,导致相互毁灭的战斗,（2）若 , 从相位图观察出Y方将获胜.,0,x,y,(x0,y0),Y方胜,X方胜,证明 令 y =0, 由轨线方程得,不可能出现 x0 同时 y=0 的情形, 即X方获胜的情形.,即Y方获胜时的幸存士兵数.,3） 测算失败一方开始应投入兵力.,矛盾,将战斗力参数值 a=0.15, b=0.1 代入方程(4),因,有,预测X方军队将获胜. Y方军队要获胜开始 投入兵力y0应满足
5、：,解得y08165, 至少派出8165名士兵才能转败 为胜.,4） 战斗持续时间讨论,最快歼 灭速度,意味着战斗开始时Y方军队的士兵以每小时 1000人的速度被歼灭，故战斗至少持续,5000/1000=5（小时）.,战斗结束时X军队余下士兵,（名）,此时,Y军队士兵被歼灭的速度为,最慢歼 灭速度,设Y军队士兵保持此速度被歼灭，有,y=790.1t + 5000,令y=0, 解得t=5000/790.16.32(小时).,分析结果表明，战斗会持续56.32(小时),取 中间值约为5.7(小时).,注 直接求解微分方程组,可以得到几乎一致的结论.试一试！,三. 捕食系统的Volterra方程 （
6、狐狸与野兔问题）,上世纪初, 意大利生物学家U.DA ncona在研究中，发觉第一次世界大战期间从地中海捕获的鱼中，鲨鱼等食肉鱼的比例十分明显地上升了。他认为这一现象决非偶然，应是由战争期间捕鱼量减少所致.,食用鱼,人类捕捞,食肉鱼,捕鱼量减少，食用鱼的比例反而降低？,数学家V.Volterra建立了一个数学模型给予解释.,模型建立：x(t) t 时刻食用鱼（prey）的数量.y(t) t 时刻食肉鱼 (predator) 的数量.,假设如下：*1 没有食肉鱼, 食用鱼的净相对增长率为正 常数(k10);,*2 没有食用鱼，食肉鱼的净相对增长率为负 常数(k2, k20)；,*3 两类鱼相遇的
7、机会正比于x 和 y 的乘积；,建立微分方程如下：,其中参数b0，c0.,模型分析：关心相互制约的两类鱼种的总变化趋势.,针对建模目的, 对微分方程进行以下分析工作：,1.讨论方程的平衡点；,2. 分析验证方程组是否有周期解；,3. 对方程组周期解进行分析；,4. DA ncona现象的解释.,1.求平衡点,在平衡点处，两类鱼将能够“平衡”地生存, 它们的数量将一直保持这个水平.,平衡点：(0, 0)与（x, y）=( ),平凡的,2. 分析验证方程组有周期解；,(1) 求相轨线方程,将方程组（1）的两个方程相除：,两边积分,其中S 为任意常数.,(2) 验证方程有周期解,分析：,方程组(1)
8、 有周期解,相轨线 (2) 是一族封闭曲线,?,x,y,0,x0,x1,x,需证明：对每一条轨线，存在 x0x1，使：1）x0xx1时,方程(2 )有两个相异根；,2）x =x0 或 x=x1时, 方程仅有一个单根；,3） 时, 方程(2)无根.,证明见5.2.1,3.对方程周期解的分析。,1.相轨线的形状,设方程的周期解为: x=x(t), y=y(t), t0, 则对 任意给定的t00，存在t10，使,x(t0)=x(t1), y(t0)=y(t1),方程(1)的相轨线是一族包含平衡点A( ) 的封闭曲线.,x,y,o,k2/c,k1/b,A,2. 平衡点A的实际意义,记 T=t1 t0 , 称T 为周期,将原方程,中的第二个方程改写为,两边从t0 到 t1 积分，得,结论：食用鱼和食肉鱼的平衡量恰为它们的 数量在一个周期内的平均值.,o,x(食用鱼),y,A,3. DA ncona现象的解释,为考察捕鱼业对两种鱼类的影响, 引入捕捞 能力系数，将方程(1)改写为,方程(3)的平衡点为,由于捕捞能力系数的引进，食用鱼的平均 量增大, 而食肉鱼的平均量则减少了.,Volterra原理：为了减少强者,只需捕获弱者.,
