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1、DCAOB2015 年上海初三数学竞赛（大同中学杯）年上海初三数学竞赛（大同中学杯）（2015 年 12 月 6 日） 解答本题可以使用科学计算器 一填空题（每小题一填空题（每小题 10 分，共分，共 80 分）分） 1、已知 AB 为圆 O 的直径，AB=1，延长 AB 到点 C，使得 BC=1，CD 是圆 O 的切线，D 是切点，则的面积为_。ABD解答：依据切割线定理可以得到：。22CDCB CACD因为可以得到BDCDCDCBDAADAC因此有。21 22BD AD因为 AB 为圆 O 的直径，所以时直角三角形。ABD依据勾股定理有。222221133ABBDADBDBD 而2122
2、226ABDSBD ADBD2、有编号分别为去 1,2,3,4,5,6,7 的 7 个大小相同的小球，从中任取 3 个小球，则取出的 3 个小球的编号和为奇数的概率为_。解答：从七个小球任意取出三个小球的取法为种，因为没有小球的数字不同，这3 735C 样这三个球的数字和有 35 和结果。要使用和为奇数。应该包括两种下面情况第一种三个数均为奇数，也就是从 1,3,5,7 四个数中取三个，取法为3 44C 第二种，一个奇数，两个偶数，也就是从 1,3,5,7 的四个数中取 1 个，从 2,4,6 三个数中取两个，取法有.22 4312CC这样和为奇数一共有种。从而取出的 3 个小球的编号和为奇数
3、的概率为4 121616 353、实数满足，则的值为_。, x y234xy234yxxyxy yx解答：因为223434xyyx上述两个相减，得到：。因为()()3()0xy xyxyxy所以有。3xy上述相加得到2223()4()23()4xyxyxyxyxyBC O1 O2PABABAMNPQ所以。因此1xy 2()21xyxyxy yxxy4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的 23 倍，则这三个素数为_解答：设这三个素数为。则有。因为 23 是素数，从, ,a b c23()abcabc，可以得到 23 能够整除三个素数的积。从而可以得到其中23()abcabc, ,a b cabc
4、有一个素数必为 23。假设23a 这样就有23124(1)(1)244 62 12bcbcbcbcbc 因为为素数，所以得到或, b c5,7bc3,13bc这样得到三个素数为 5,7,23 或 3,13,23。5. 如图，圆与圆 外切于点P ，从圆上点A 作圆的切线AB ， B 是切点，连1O2O1O2O接AP 并延长，与圆交于点C 已知圆 、圆的半径分别为2、1，则2O1O2O_AC AB解答：做如图所示的辅助线。可以得到2 12 11/ /2COPCAOCOPAAO为此设，则PCk2 .PAk 应用切割线定理有：2236 .ABAP ACkkABk所以。36 26ACk ABk6、 如图
5、所示，在平面直角坐标系xOy 中，MON 的两边分别是射线 y x(x 0)与x轴正 半轴点A(6,5)，B(10,2)是MON 内的两个定点，点P、Q分别是MON 两边上的 动点，则四边形 ABQP 周长的最小值是_ 解答：本题主要就是应用对称。应为四边形 ABQP ，其中一个边 AB 为定值。要求四边形 ABQP 周长的最小值，只要求另外三边的最小值。从对称可以得到,./(5,6)A/(10, 2)B四边形另外三边的最小值为/A B 依据两点间距离公式有。，/22(105)( 26)89A B 22(105)(25)34AB 从而最小值为。89347. 不定方程的整数解共有_组。2222x
6、yxyxy( ,y)x解答：设，所以从，可以得到xyk2222xyxyxy222kxyxyk所以。2 22233kkkkxyxy这样是方程的两个根，并且根为整数。,yx2 2203kktkt所以。因此有。2 222()40803kkkkk 08k同时要保证为整数。这样就有，22(2) 33kkk kxy0k 3568当时，0k ( ,y)(0,0)x当时，方程为方程没有整数解。3k 2310tt 当时，方程为方程没有整数解。5k 2550tt当时，方程为方程，有整数解为 2,4。所以或6k 2680tt( ,y)(2,4)x(4,2)当时，方程为方程，有整数解为 4,4。所以 8k 28160
7、tt( ,y)(4,4)x整数解共有 4 组( ,y)x8. 设是给定的正实数， 是给定的大于 1 的整数，实数 满足an123,nx x xx，则2222 123nxxxxa的最22222 12131232()()()()()nnxxxxxxxxxx2 1()nnxx大值_。 解答：因为22222 12131232()()()()()nnxxxxxxxxxx2 1()nnxx222 12123234211(1)()2 ()2()2()2nnnnxnnnnxxxx xxxx xxxxxxxxDPDCBA123234211(1)2 ()2()2()2nnnxnnnnax xxxx xxxxxxx
8、x有这样的一个结论，因为222222222222()2xyxyx yxyxyxyxyxy 而1232342112 ()2()2()2nnnxnnnx xxxx xxxxxxxx222222222222 1213123242222222222222 343532121222222 1212()()() ()()()()()()()()()(1)(1)(1)(1)(nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnxxxxxnxxx)(1)na所以最大值为2(1)na二、解答题（第 9、10 题，每题 15 分，第 11、12 题，每题 20 分，共 70 分） 9. 如图，
9、在ABC中，BC a，CA b，ACB 60，ABD是正三角形，P是其中 心，求CP 的长度解答：分析作 D 点关于 AB 的对称点。/D则为等边三角形，这样就有，已知/AD B/060AD BACB 60所以四点共圆。这个圆过 P/,A C D B点。连接 AP，BP。因为P是正三角形ABD的中心，所以023sin6033APBPABAB因为A,C,B,P四点共圆，也就是四边形ACBP为 圆内接四边形，应用圆内接四边形托勒密定理可以得到AB PCBP ACAP BC所以。3()3PCab10. 在1，2， ，2015 这2015 个正整数中选出个数，使得其中任意两个不同的数的和k 都不是50
10、 的倍数，求k 的最大值 解答：因为所有的整数，被5除余数为0,1,2,3,4， ,47,48,49。共50中情况。而 。2015504015 下面吧从1,2， ，2015这2015个数被50除，余数的情况列表如下。余数121524252648490 第1行1215242526484950 第2行5152657475769899100 第3行101102115124125126148149150O FMQ PNEGDICABG ICAB第40行19511952199819992000 第41行200120022015 第1行取1到25这25个数，取50这个个数，任意两个数的和都不能被50整除。
11、 第2行取51到74这24个数，和第一组取得的数组成新的数集，则这新的数集任意两个数的和 不能被50整除。 以后每行都取前24个数，取到第40行位置。最后一行取15个数。这样正整数集合最大数值个数为2624 (402 1) 15977这样集合为这样式样1,2,25,50,51,52,74,101,102,124,151,152,174,1951,1952,1974,2001,201550这个数可以换成1到2015之间50的倍数任意一个数。因此的最大值为977.k 11. 已知ABC的三边长均为正整数，周长为 35，G 和I 分别为ABC的重心和内心， 且GIC 90，求边AB的长度 解答：本题
12、有一定难度，但是抓住内心和重心的特征 还是能够找到解题的路径的。由题意知道GIC 90，并且平分,出现角平分+垂直ACB 的特征。这样可以构造出三角形。为此延长GI和反向延长GI.很容易得到为等腰三角形，也就是CMNCMCN 过垂心G和内心I分别做AC和BC边的垂线。设的内接圆ABC 的半径为。r 由面积法得到：CGMCGNCIMCINSSSS也就是 1112222CM GPCN GFrCN所以2GPGFr 因为G为三角形ABC的重心，可以得到 11233B ACA BCddr用面积法有： 12122233SSS baabc化简为116 baabc也就是6 35ab ab，因为为正整数635(
13、)abab, a b所以得到，则35abk6abk为此为方程的两个根。, a b26350tktk235( 6 )4 3509kkk 有。因此356356abkk4,5k 当时，方程为所以此时4k 22435 40(14)(10)014,10ttttt 。因此。10,14ab11AB 当时，方程为没有整数解。5k 23035 50tt因此。11AB 12. 设是正整数， 不是 4的倍数，求证：不是完全平方数 , a b22ab(3 )(57 )abab证明：，当为同奇数，或者同偶数时，可以得到22()()abab ab, a b一定是4的倍数。已知 不是 4的倍数，所以中一个为22()()ab
14、ab ab22ab, a b奇数，一个为偶数。假设。因为21,2anbm222222(3 )(57 )522215(21)22(21) 221(2 )20 (1)588448420 (1)8840804 (1)5ababaabbnnmmn nmnmmn nmnmmm m 因为能够被8整除。220 (1)8840804 (1)n nmnmmm m所以此时被8除余5.因为要是完全平方数，奇数的时被8除余1.因此此种(3 )(57 )abab情况下不是完全平方数。假如，因为2 ,21am bn222222(3 )(57 )522215(2 )22 2 (21)21(21)20884421 4 (1)2116884021 4 (1) 164 (1)5ababaabb
