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1、,第二章,函数,2.10 图象变换与对称,一、函数图象的三种变换1. 平移变换：y=f(x)的图象向左平移a(a0)个单位长度，得到_的图象；y=f(x-b) (b0)的图象可由y=f(x)的图象_而得到；y=f(x)的图象向上平移b (b0)个单位长度，得到_的图象；y=f(x)+b (b0)的图象可由y=f(x)的图象_而得到.,y=f(x)+b,y=f(x+a),向右平移b个单位长度,向下平移-b个单位长度,2. 对称变换：y=f(-x)与y=f(x)的图象关于_对称；y=-f(x)与y=f(x)的图象关于_对称；y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于_对称；y=f-1(x)与y=f(
2、x)的图象关于_对称;y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分_，其余部分不变而得到；y=f(|x|)的图象可先作出y=f(x)当x0时的图象，再利用偶函数的图象关于_，作出的图象11 _.,y轴,x轴,原点,直线y=x,以x轴为对称轴翻折到x轴上方,y轴对称,当x0时,3. 伸缩变换：y=Af(x) (A0)的图象，可将y=f(x)的图象上所有的点的 12 _变为原来的A倍，13 _不变而得到;y=f(ax) (a0)的图象，可将y=f(x)的图象上所有的点的 14 _变为原来的 倍，15 _不变而得到.二、几个重要结论1. 若f(a+x)=f(b-x)，对任意xR恒成立
3、，则y=f(x)的图象关于 16 _对称.,纵坐标,横坐标,横坐标,纵坐标,直线,2. 若函数f(x)的图象关于直线x=m及x=n对称，则f(x)是周期函数，且最小正周期为 17 _.3. 函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于 18 _对称.盘点指南：y=f(x+a);向右平移b个单位长度；y=f(x)+b;向下平移-b个单位长度;y轴;x轴;原点；直线y=x;以x轴为对称轴翻折到x轴上方;y轴对称；11 当x5时，log5x1,y=f(x)与y=log5x的图象不再有交点，故选C.,C,3.已知函数f(x)= 的反函数f-1(x)的图 象的对称中心是(-1, )，则实数a的值
4、是_.解：函数f(x)= 的反函数f-1(x)的图象 的对称中心是(-1, )，所以f(x)= 的对称中心是( ,-1).而f(x)= 的对称中心是(a+1,-1)，所以a+1= ，解得a= .,1. 作出下列函数的图象:(1)y=x(|x|-2);(2)y= ;(3)y=log2(|x|-1).解：(1)函数y=x(|x|-2)是 奇函数，图象关于原点对称， 如图1.,题型1 作图问题,(2)定义域为(-，-1)(-1，+)，函数解析式可变形为 即向左平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度，如图2.(3)定义域为(-，-1)(1，+)，函数为偶函数，图象关于y轴对称.当x1时,y=log2
5、(x-1),其图象是函数y=log2x的图象向右平移一个单位长度，如图3.,点评：函数图象的作图问题，一般先根据定义域、值域确定图象的大致范围；然后判断函数的性质，如奇偶性、单调性；再根据描点法画一部分的图象；最后利用图象的平移、翻折、伸缩等变换得出整个函数的图象.,作出下列函数的图象：解：(1) 如图1.,(2) 作出y=( )x 的图象，保留y=( )x图象中 x0的部分，加上y=( )x的 图象中x0部分关于y轴的对 称部分，即得y=( )|x|的图象， 如图2实线部分.,2. 函数y=-xcosx的图象是( ),题型2 识图问题,解：令y=f(x)=-xcosx，则f(-x)=-(-x
6、)cos(-x)=xcosx=-f(x)，即f(x)是奇函数且f(0)=0，所以y=-xcosx的图象是关于坐标原点O成 中心对称.从而可知选项A与C均不正确.又当0x 时，y=-xcosx0，则当- x0时，y=-xcosx0，于是 选项B是不对的，故选D.,点评：由解析式选择函数图象的问题，可从这些方面入手：图象是否过特殊点，如与坐标轴的交点坐标；根据定义域或值域，图象是否位于特殊位置，如经过哪些象限，不经过哪个象限；图象是否是对称的，如是不是奇(偶)函数；函数的单调性或单调区间是否能很快判断等等，再结合排除法，最后可得出函数的图象.,3. 已知f(x)=|x2-4x+3|.(1)求f(x
7、)的单调区间;(2)求m的取值范围，使方程f(x)=mx有4个不同实根.解：(1)f(x)= 单调递增区间为1，2，3，+); 单调递减区间为(-，1)，(2，3).,题型3 函数图象的应用及对称问题,(2)设y=mx与y=f(x)有四个公共点，设直线l:y=kx (k0)与y=f(x)有三个公共点，则0mk.由得x2+(k-4)x+3=0.令=(k-4)2-12=0，得k=4 .,当k=4+2 时,方程的根x1=x2=- (1，3),舍去. 当k=4-2 时,方程的根x1=x2= (1，3),符合题意. 故0m4-2 ,即所求实数m的取值范围是(0,4-2 ).点评：根据图形可以直观地观察图
8、象的性质,这体现了数形结合思想.与函数有关的问题：如求解析式、比较大小、解不等式、求参数等问题,常常借助于函数的图象来帮助解决.,已知f(x)= (a0,且a1).(1)证明：对任意的x1、x2R，当x1+x2=1时，都有f(x1)+f(x2)=-1;(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.解：(1)证明：y=f(x)的定义域是R，,(2)由(1)有f(x)+f(1-x)=-1， 令S=f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)， 则S=f(3)+f(2)+f(1)+f(0)+f(-1)+f(-2)， 上面两式相加得：2S=-6，即S=-
9、3，故所求的 值是-3.,1. 将函数y=log x的图象沿x轴向右平移1个单位长度得图象C1，图象C2与C1关于原点对称，图象C3与C2关于直线y=x对称，求图象C3对应的函数解析式.解：由已知得C1:y=log (x-1)，C2:y=-log (-x-1)=log2(-x-1).由y=log2(-x-1)，得x=-2y-1，所以C3:y=-2x-1.,题型 图象变换问题,2. 把函数y=log3(x-1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍，然后向右平移 个单位长度，再将整个图象向下平移4个单位长度，求所得图象对应的解析式.解：y=log3(x-1) y=log3(2x-1) y=log3 2(x- )-1=log3(2x-2) y=log3(2x-2)-4.,横坐标缩短到原来的 倍,向右平移 个单位长度,向下平移4个单位长度,1. 作函数图象的基本方法有两种：描点法和变换法.作图时必须考虑函数的定义域，并注意化简或变形函数解析式.2. 变换法作图时，应先选定一个基本函数，通过变换原理，找出所求作的函数图象与这个基本函数图象间的关系，再分步画出图形.3. 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.,
