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3 向量组的秩,最大无关组及向量组的秩,注意:,一般来说, 最大无关组不唯一. 实际上, 设向量组A的秩为r, 则 向量组A的任意r个线性无关的向量都是向量组A的最大无关组.,例,例,2. 向量组 A和它的最大无关组等价.,证:,定理(最大无关组的等价定义).,证:,定理6.,矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组 的秩.,由此可知向量组的秩是矩阵的秩的推广. 矩阵对应的向量 组只含有有限个向量，所以矩阵的秩只适用于含有有限个向量 的向量组，而向量组的秩适用于含有无限多个向量的向量组. 所以可以认为向量组的秩是矩阵的秩的推广.,证:,定理1,定理2,定理3,例.,证:,定理： 矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系.,例1.,解,求m维列向量组1, 2, ,n的最大无关组, 并把不属于最大 无关组的列向量用最大无关组线性表示.,例2.,(2学分),解,例3.,(3学分),解,例4.(Ex14.),证:,例5.(Ex15),证:,小结:,1. 最大线性无关组的定义及其等价定义. 向量组的秩的概念.,2. 矩阵的秩与向量组的秩的关系: 矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩.,3. 求向量组的秩以及最大无关组的方法:将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵, 然后进行初等 行变换. (重点.),
