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1、,第五章,切比雪夫不等式,一、切比雪夫不等式,二、大数定律,第 一 节,与大数定律(13),如何从理论上说明这一现象？,这样作的理论依据是什么？,问题 1,频率稳定性的问题,事件 A 发生的频率,在相同条件下进行 n 次重复试验，,总是在 0,1 上的一个确定的常数 p 附近摆动，,并且随着,试验次数 n 的增大，,越来越稳定地趋于 p 。,问题 2,在精密测量时要反复测量然后再取平均值？,引言:,问题1 就能得以解决.,（1）,对于问题1，,要说明频率,趋于常数 p ，,自然会想到,极限概念.,如果能证明,即对任意的,存在正整数N，对于,由于,其随机性使不论 N 取多大的值,请看下面的图示:
2、,（3）,（2）,因此，只能求其次，去求证下面两式成立：,为此 , 先来证明概率论中一个重要的不等式,切比雪夫不等式.,或,或,一 .,切比雪夫不等式,（4）,（5）,即有,定理1,（切比雪夫定理）,设随机变量,的数学期望,方差,存在，则对任意的,有：,证:,仅就连续型随机变量的,情形进行证明.,设 X 的概率密度函数为,则有,证毕.,方差为,由切比雪夫不等式有:,解:,试估计 X 落在( 80 , 120 )内的概率.,例1,已知随机变量 X 的数学期望为,例2,在每次试验中事件A发生的概率为0.5 .试用切比,解：,雪夫不等式估计在1000次独立的试验中,事件A发生的,的次数在450至55
3、0次之间的概率.,设X表示事件A在1000次独立试验中发生的次数,则：,由切比雪夫不等式有：,二 . 大数定律,定理2,用事件发生的频率的来近似地估计它的概率.,贝努里大数定律说明，,在相同条件下独立地重复,做 n 次,当 n 较大时，,事件 A 发生的频率,与在每,的概率可任意地小（接近于0）.,因此，在实践中可以通,试验，,次试验中发生的概率 p 之差的绝对值大于任意指定正数,过反复试验，,贝努里大数定律,所以由切比雪夫不等式，,证:,有下式成立,两边取极限，得,对任意的,切比雪夫大数定理,定理3：,证：,由切比雪夫不等式 ，对任意,有：,从而：,证毕 .,推论：,推论说明，若对同一随机现象进行反复观测，则其平,均值与它的期望值之差的绝对值大于任意指定的小数,的概率可任意地小.这一理论正好回答了问题2.,即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重复,测量多次，然后用测量值的平均值来代替实际的真值.,当测量次数充分大时，这一平均值与其真值差的绝对,值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测,量的精度.,
