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1、导数的四则运算法则,学习目标：,1.理解两函数的和(或差)的导数法则，会求一些函数的导数 2.理解两函数的积（或商）的导数法则，会求一些函数的导数 3.会求一些简单复合函数的导数.,教学重点：导数公式和导数的四则运算法则。 教学难点：灵活地运用导数的四则运算法则进行相关计算,教学重难点,知识链接,基本初等函数的导数公式,法则 1 如果 u=u(x)、 v =v(x) 都是 x 的可导函数 ，则 y=u v 也是 x 的可导函数 ，且,y =(u v) = u v ,一、函数和(或差)的导数,u (x + x) - u(x) = u，,证 当 x 取得增量 x 时，函数 u、v 和 y=u v
2、分别取得增量 u、v 和 y .,因为,即,u (x + x) = u(x) + u，,课前预习：,同理有,v (x + x) = v(x) + v .,y = u(x + x)v(x + x) - u(x) v(x),= (u+ u) (v + v) - ( uv),= uv .,因此,所以,即,(u v) = u v ,这个法则可以推广到有限个可导函数的和的情形,即,例 1 求函数,的导数.,解,二、函数积的导数,法则 2 如果 u=u(x)、 v =v(x) 都是 x 的可导函数 ，则 y=uv 也是 x 的可导函数 ，且,y =(uv) = uv + uv ,(证明方法同法则1,故证明
3、从略.),推论 1,这个法则可以推广到有限个可导函数积的情形,例如,(uvw) = uvw + uvw + uvw .,(cu(x) = cu(x) (c 为常数).,例 2 设,求,解 根据乘法法则，有,所以,推论 2,三、函数商的导数,法则 3 设 u=u(x)、v =v(x) 都是 x 的可导函数, 且v 0, 则,(证明方法同法则1,故证明从略.),也是 x 的可导函数,且,(c为常数),解 根据除法法则，有,例3 设函数,求 y .,例 4 设 函数 y = tan x，,求 y .,即,同理可得,(tan x) = sec2x .,(cot x) = - csc2x .,解,练习
4、设 y = sec x，,求 y .,解 根据推论 2，有,即,同理可得,(sec x) = sec x tan x .,(csc x) = - csc x cot x .,定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，,则复合函数 y = f ( (x) 也可导.,且,或,四、复合函数的求导法则,即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 ),即,证 设变量 x 有增量 x，,由于 u 可导，,相应地变量 u 有增量 u，,从而 y 有增量 y.,例5：求,的导数,分析：,解1：,解2：,可由y=sinu,u=2x复合而成,=2c
5、os2x,?,练习 设 y = (2x + 1)5，求 y .,解 把 2x + 1 看成中间变量 u，,y = u5，u = 2x + 1,复合而成，,所以,将 y = (2x + 1)5 看成是由,由于,例 6 设 y = sin2 x，求 y .,解 这个函数可以看成是 y = sin x sin x, 可利用乘法的导数公式，,将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.,而,所以,这里，,我们用复合函数求导法.,求 y .,解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.,这样可以直接写出下式,例 7,达标练习,5. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).,解,导数的四则运算法则,推论 1 (cu(x) = cu(x) (c 为常数).,推论 2,推论 3,课堂小结,课后作业,课本P91 练习A 1,2,
