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1、2012 年全国各省市高考好题集锦（小题） 1、已知 1 ( ) 1 f x x ，各项均为正数的数列 n a满足 1 1a ， 2 () nn af a ，若 20102012 aa，则 2011 aa的值是 （上海文 14） 13 53 26 【解析】由题意得， 2 1 3 a， 3 2 5 a， 13 8 11 a， 20122010 aa，且 . n a0， 2 51 2010 a，易得 2010 a= 2008 a= 24 a= 22 a= 24 a= .20 a， .20 a+ 11 a= 2 51 + 13 8 = 26 5133 。 2、若 2 sinsin.sin 777 n
2、 n S （nN ） ，则在 12100 ,.,S SS中，正数的个数（ C ） A、16 B、72 C、86 D、100（上海文 18） 3、如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，2BC，若cAD2，且 aCDACBDAB2，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 。 （上海理 14） 22 2 1 3 c ac 【解析】过点 A 做 AEBC，垂足为 E，连接 DE，由 ADBC 可知，BC平面 ADE， 所以BCSVVV ADEADECADEB 3 1 = ADE S 3 2 ， 当 AB=BD=AC=DC=a 时，四面体 ABCD 的体积最大。 过 E 做 EFD
3、A，垂足为点 F，已知 EA=ED，所以ADE 为等腰三角形，所以点 E 为 AD 的中点，又 1 2222 aBEABAE，EF=1 2222 caAFAE， ADE S=EFAD 2 1 =1 22 cac， 四面体 ABCD 体积的最大值 max V ADE S 3 2 =1 3 2 22 cac。 4、设 25 sin 1n n an， nn aaaS 21 ，在 10021 ,SSS中，正数的个数是（ D ） A25 B50 C75 D100（上海理 18） 5、已知( )(2 )(3)f xm xm xm，( )22 x g x 。若xR ，( )0f x 或( )0g x ，则m
4、的取 值范围是_。 （北京文 14） （40m ） 【解析】首先看22)( x xg没有参数，从22)( x xg入手，显然1x时，0)(xg；1x时， 0)(xg。而对Rx，0)(xf或0)(xg成立即可，故只要1x，Rx，0)(xf(*)恒成 立即可当0m时，0)(xf，不符合(*)式，舍去；当0m时，由 )3)(2()(mxmxmxfy ， ，求 y x 的取值范围。 作出（xy，）所在平面区域（如图） 。求出= x y e的切 线的斜率e，设过切点 00 P xy，的切线为=0y exm m， 则 00 000 = yexmm e xxx ，要使它最小，须=0m。 y x 的最小值在
5、00 P xy，处，为e。此时，点 00 P xy，在= x y e上,A B之间。 当（xy，）对应点C时， =45 =205 =7=7 =534 =2012 yxyxy yx yxyxx ， y x 的最大值在C处，为 7。 y x 的取值范围为 7e，即 b a 的取值范围是 7e，。 27、已知 2 ( )sin () 4 f xx 若 a=f（lg5） ， 1 (lg ) 5 bf则 （江西文 9） A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1 【答案】C 【解析】本题可采用降幂处理，则 2 1 cos(2lg5) 1 sin(2lg5) 2 (lg5)sin (l
6、g5) 422 af 2 1 1 cos(2lg) 111 sin(2lg5) 52 (lg )sin (lg) 55422 bf ，则可得 a+b=1. 28、如右图，OA=2（单位：m）,OB=1(单位：m),OA 与 OB 的夹角为 6 ，以 A 为圆心，AB 为半径作圆弧 A BDC与线段 OA 延长线交与点 C.甲。乙两质点同时从点 O 出发，甲先以速度 1（单位:ms）沿线段 OB 行至点 B，再以速度 3（单位：ms）沿圆弧ABDC行至点 C 后停止，乙以速率 2（单位：m/s）沿线段 OA 行至 A 点后停止。设 t 时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为
7、S（t） （S（0） =0） ，则函数 y=S（t）的图像大致是 （江西文 10） 【答案】A 29、设 a0，b0，e 是自然对数的底数 （浙江文 10）(A) A.若 ea+2a=eb+3b，则 ab B.若 ea+2a=eb+3b，则 ab C.若 ea-2a=eb-3b，则 ab D. 若 ea-2a=eb-3b，则 ab 30、如图，F1，F2分别是双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a，b0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M若|MF2|F1F2|，则 C 的 离心率是 A 2
8、 3 3 B 6 2 C2 D3 【解析】如图：|OB|b，|O F1|ckPQ b c ，kMN b c 直线 PQ 为：y b c (xc)，两条渐近线为：y b a x由 () b yxc c b yx a ，得：Q( ac ca ， bc ca )；由 () b yxc c b yx a - ，得：P( ac ca ， bc ca )直线 MN 为：y bc ca b c (x ac ca )， 令 y0 得：xM 3 22 c ca 又|MF2|F1F2|2c，3cxM 3 22 c ca ，解之得： 2 2 3 2 a c e a ，即 e 6 2 【答案】B （浙江理 8） 31
9、、若将函数 5 fxx 表示为 （浙江理 14） 25 0125 111fxaaxaxax 其中 0 a， 1 a， 2 a， 5 a为实数，则 3 a_ 【解析】法一：由等式两边对应项系数相等 即： 5 4 5543 31 55443 1 010 0 a C aaa C aC aa 法二：对等式： 25 5 0125 111fxxaaxaxax 两边连续对 x 求导三次得： 22 345 60624(1)60(1)xaaxax ，再运用赋值法，令1x 得： 3 606a ，即 3 10a 【答案】10 32、在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM3，BC10，则AB AC _ （浙江理 1
10、5） 【解析】此题最适合的方法是特例法 假设ABC 是以 ABAC 的等腰三角形，如图， AM3，BC10，ABAC34 cosBAC 34341029 2 3434 AB AC cos29ABACBAC 【答案】29 33、如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆。在扇形 OAB 内随机取 一点，则此点取自阴影部分的概率是 (C) （湖北文 10） A. B. . C D. 34、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示 的三角形数： 将三角形数 1,3， 6,10，记为数列an，将可被 5 整除的三角形数按从
11、小到大的顺序组成一个新数列bn， 可以推测： （）b2012是数列an中的第_项； (5030) （）b2k-1=_。 （用 k 表示） ( 5 (51) 2 kk ) 35、已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为 （湖北理 4） A. 8 3 B.3 C. 10 3 D.6 36、设 a,b,c,x,y,z 是正数，且 a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则 abc xyz （C） （湖北理 6） A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D, 3 4 【答案】C 【解析解析】由于 222222 )()( 2 czbyaxzyxcba 等号成立当
12、且仅当, t z c y b x a 则 a=t x b=t y c=t z ，10)( 2222 zyxt 所以由题知2/1t,又2/1, t zyx cba zyx cba z c y b x a 所以，答案选 C. 37、函数 f（x）=xcosx在区间0,4上的零点个数为 （湖北理 9） （C） A.4 B.5 C.6 D.7 38、我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方 除之，即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d 的一个近似公式。人 们还用过一些类似的近似公式。根据=3.14159判断，下列近似公式中最精确的一
13、个是 【答案】D 【解析解析】 3 3 466b6 9 ( )d,=3.375 32b16 6 16 1576 11 =3=3.14,=3.142857 230021 dVa VA a BD 由，得设选项中常数为则；中代入得， 中代入得，C 中代入得中代入得， 由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。 39、回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如 22，,121,3443,94249 等。显然 2 位回文数有 9 个：11,22,33，99.3 位回文数有 90 个：101,111,121，191,202，999。则 （）4 位回文数有_个； （）2n1（nN+）位回文数有_个。 （湖北理 13） 40、如图，双曲线),( 1 x 2 2 2 2 oba b y a 的两顶点为 A1，A2，虚轴两端点为 2 BB， ，两焦点为 F1，F2。若以 A1A2为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，切点分别为 A，B，C，D。则 （湖北理 14） （）双曲线
