函数性态的研究

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1、1,6 函数性态的研究,函数的单调性、极值、最值、 凹凸性,初等函数的定性作图,研究内容,2,一、函数的单调性(monotonicity),单调减情况：,单调增情况：,*,3,定理 1 (函数单调性的判定-P.147),（简述证明.）,*,4,对于单调减的情况, 结论恰好反过来, 请同学们自己叙述并证明。,推论 在定理的条件下,若除有限个点的导数,为零外,则 在 I 上严格,单调增加 (减少) .,*,5,例如：,其导函数,加，如图。,*,6,*,7,例1,解,*,8,*,列表讨论其单调性如下,9,严格单增,严格单增,严格单减,严格单减,函数的图形如下：,10,严格单增,严格单减,11,1.此

2、例再次说明函数的单调性不是整体,2.这些区间彼此之间是以 的零点及,不可导点为分界点的，,的符号判定 的单调性；,性质，通常是要分区间说明的；,区间内则以导数,*,12,3.通过用导数研究单调性, 还可以证明一,些不等式, 见下例 ,例2 证明：当,证,*,13,故选辅助函数：,*,14,*,15,二、函数的极值(extremum),Fermat引理已给出了函数取得极值的必要条件，即：,驻点,*,16,1.从Fermat 引理可知, 极值点必是这样的,点 x :,(见图),*,17,但,*,18,定理 2 (判定极值的第一充分条件P.149),有关极值结论,请见下图.,*,19,20,例3 求

3、函数,解 (1) 先求出所有可能的极值点 ( 即驻点和不可导点)；,*,21,(2) 讨论驻点及不可导点两侧 的符号，,以确定极大小点；(列表说明，见后),(3) 若要求的话，算出 的极值。,*,22,严格单增,严格单减,严格单减,严格单减,的图形如下 ,*,23,*,24,定理 3 (判定极值的第二充分条件P.150),小,大,*,25,证明思路：由 Taylor 公式,注意到若 ，则 定理3 同样无法判,定极值，但是受上述证明的启发，可以得到,下面更一般的定理。,*,26,定理 4 (P.151) 设：,思考并证明,*,27,作业,P.158 -习题 2.6 (A) 书面:(A)N.3(双

4、), 4(双), 7 (5)(6),N.9 (3)(4),28,三.函数的最值(maxmum & minimum),闭区间上的连续函数一定可以取到最大、小值。,成本最低、时间最短、效益最好、用料最省、产值最高，利润最大是实际中的“最优化”、“最值”问题。,在数学上都可归结为某一目标函数的最大、小值问题。,*,29,1. 函数的最值与极值的关系,极值是局部最大、小值，极值点一定是内点，不会是区间端点；,最值总是对某一函数在其所涉及的区域 I 上整体而言的，若它在区域内部达到, 则它就是局部极值，但最值有可能在区域的端点达到。,*,30,比较上述各值，确定最大小、值：,2. 求函数 在 上最值的步骤,按求极值的方法先求出 在,计算出函数值：,内的所有极值点,*,31,例4,解,在 0, 1 上的最值。,*,32,自学书上P.151-152 例 6.7, 例 6.8 .,*,33,1. 实际问题中若在a,b上只有唯一驻点,而又知该问题必有最值且不可能在端点达到, 则这个驻点就是问题的最值点.,2. 求解最值问题可以结合单调性的研究,往往能使问题简化.,*,34,作业,P.158 -习题 2.6 (A) N.10 (双)，11.(2)(3) 15. 17.,