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1、高中数学总复习球和立体几何中的创新问题【知识要点】 1球定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做球。 2截面性质：球的截面都是圆，其中恰好经过球心的半径最大，叫做大圆。可类比圆被直线所截的有 关问题。3球的表面积、体积公式：S=4R2，V=34R34. 球中的切接问题：可以正方体，长方体，正四面体为例做推导。 *5球面距离：球面上两点的大圆劣弧长，是球面上两点间的最短距离 *6地球仪中的经纬度：纬度为线面角，经度为二面角 【实战训练】 【球的问题】1. 64 个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为的球，记其体积4a甲V甲Sa为，表面积为，则（ C
2、）乙V乙S（A） （B） 乙甲乙甲且SSVV乙甲乙甲且SSVV（C） （D） 乙甲乙甲且SSVV乙甲乙甲且SSVV2.球的面积膨胀为原来的两倍，膨胀后的球的体积变为原来的（ C ）倍。（A） （B）2 （C） （D）4 2223在球面上有四个点 P,A,B,C，且满足 PA=PB=PC=，PA,PB,PC 两两垂直，则球的表面积为a_；体积为_ （）2333,2aa4自球面上一点 P 作球的两两垂直的三条弦 PA、PB、PC，球的半径为 R，则 （ 222PCPBPAA ）（A） （B）3R （C）2R （D）24R2222R5. 两球的表面积之差为，它们的大圆周长之和为，则这两球的直径之差为
3、（ D ）4812（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 6半径为 4 的球面上有 A,B,C,D 四点，且满足，则0,0,0AB ACAC ADAD AB 的最大值为（为三角形的面积）_32ABCACDADBSSSS7与棱长为的正方体各条棱都相切的球的直径为_a2a8正四面体的内切球半径与其外接球半径的比为_1:3 9球的外切正四面体的高是球的直径的_倍210半径为 R 的球的内接正四面体的高为_4 3R11正四面体的棱长为 1，球 O 与正四面体的各棱均相切，且 O 在正四面体的内部，则球 O 的表面积为_212将半径都为 1 的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最
4、小值为（ C ）A B C D32 6 32 6232 6434 32 6 313在一个大空心球的内部装有四个半径为 1 的实心球，那么这个大球的表面积至少是（ A ）AB C D2(26)212( 21)123514三个半径为 R 的小球两两相切放在水平桌面上，又一个半径为 r 的小球同时与这三个小球相切，且 和桌面也相切，则 R：r 为（ D ）A B C D3:12:16 :13:117已知球面上三点 A,B,C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AC=BC=6，AB=4，则球的半径等于_；球的表面积等于_；球的体积等于_ （）3 6,54 ,27 6218正四棱锥 PABCD 的
5、底面边长为 2，侧棱长为，且它的五个顶点都在同一球面上，则此球的半6径为_3 2 19在北纬 60o圈上有 A，B 两地，它们经度相差 180o，则 A，B 两地沿纬度圈的弧长与 A，B 两地的 球面距离之比是_ 3：2 20设地球的半径为 R，若甲地位于北纬 45o，东经 120o，乙地位于南纬 75o，东经 120o，则甲、乙两地 的球面距离为( D )A B C D3R6R5 6R2 3R21球面上有三点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为，1 64那么这个球的半径为_2 322已知球 O 的半径为 1，A,B,C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，
6、则球心 O 到平面2高中数学总复习ABC 距离为_3 323半径为 1 的球面上有 A,B,C 三点，已知 A 和 B，A 和 C 之间的球面距离均为，B 和 C 之间的球2面距离为，则 A,B,C 三点的截面到球心的距离是 _ 321 724.如图，在斜三棱柱中，111CBAABC ，aBAAAACABACAABA1111,侧面与底面 ABC 所成的二面角为，11BCCB120E、F 分别是棱的中点AACB111、（）求与底面 ABC 所成的角AA1（）证明平面EA1FCB1（）求经过四点的球的体积。CBAA、1（）解：过 A1作 A1H平面 ABC，垂足为 H.连结 AH，并延长交 BC
7、于 G，连结 EG，于是A1AH 为 A1A 与底面 ABC 所成的角. A1AB=A1AC， AG 为BAC 的平分线. 又AB=AC， AGBC，且 G 为 BC 的中点 因此，由三垂线定理，A1ABC.A1A/B1B，且 EG/B1B， EGBC 于是 AGE 为二面角 ABCE 的平面角，即 AGE=120 由于四边形 A1AGE 为平行四边形，得A1AG=60， 所以，A1A 与底面 ABC 所成的角为 60，（）证明：设 EG 与 B1C 的交点为 P，则点 P 为 EG 的中点，连结 PF. 在平行四边形 AGEA1中，因 F 为 A1A 的中点，故 A1E/FP. 而 FP平面
8、 B1FC，A1E/平面 B1FC，所以 A1E/平面 B1FC.（）解：连结 A1C，在A1AC 和A1AB 中，由于 AC=AB，A1AC=A1AB， A1A=A1A，则A1ACA1AB，故 A1C=A1B，由已知得 A1A=A1B=A1C=a. 又A1H平面 ABC， H 为ABC 的外心. 设所求球的球心为 O，则 OA1H，且球心 O 与 A1A 中点的连线 OFA1A.在 RtA1FO 中， .33 30cos21cos11 1aaHAAFAOA 故所求球的半径，球的体积 .aR33333 2734)33(34 34aaRV【创新问题】1.若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中
9、心为顶点的凸多面体的体积为 A.2 6B.2 3C. 3 3D.2 3答案 C2. （2008 海南、宁夏理）海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（ ）A2 2 B2 3 C4 D2 5答案答案 C 【解析解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为, ,m n k，由题意得2227mnk，226mk1n21ka，21mb，所以22(1)(1)6ab228ab，22222()282816abaabbabab4ab当且
10、仅当2ab时取等号。 3.（2008 海南、宁夏文）海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为 3，那么这个球的体积为_答案答案 4 3【解析解析】正六边形周长为，得边长为1 2，故其主对角线为，从而球的直径 222312R nmk高中数学总复习zyxRADBCP1R 球的体积4 3V .4. 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 .答案答案 2 5. 在正四棱柱1111ABCDABC D中，顶点1B到对角线1BD和到平面11ABC
11、D的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（ C ）A若侧棱的长小于底面的边长，则h d的取值范围为（0，1）B若侧棱的长小于底面的边长，则h d的取值范围为2 2 3(,)23C若侧棱的长大于底面的边长，则h d的取值范围为2 3(,2)3D若侧棱的长大于底面的边长，则h d的取值范围为2 3(,)36.6.如图，在直三棱柱111ABCABC中，底面为直角三角形，19062ACBACBCCC，P是1BC上一动点，则1CPPA的最小值为 解：解：连结1AB，沿1BC将1CBC展开与11ABC在同一个平面内，如图所示，连1AC，则1AC的长度就是所求的最小值通过计算可得1190AC C，又145
12、BC C故11135AC C，由余弦定理可求得15 2AC 7.如图，在长方形ABCD中，2AB ，1BC ，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD 平面ABC在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是 答案：1,12【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 DC 的中点时，1t ，随着 F 点到 C 点时，因,CBAB CBDKCB平面ADB，即有CBBD，对于2,1,3CDBCBD ，又1,2ADAB，因此有ADBD，则有1 2t ，因此t的取值范围是1,128. 如图，已知等腰直角三角形RBC，其中RBC
13、=90，2 BCRB点 A、D 分别是RB、RC的中点，现将RAD沿着边AD折起到PAD位置，使PAAB，连结PB、PC（1）求证：BCPB；（2）求二面角PCDA的平面角的余弦值（1）证明证明 点 A、D 分别是RB、RC的中点，BCADBCAD21,/. RBCRADPAD=90.ADPA . BCPA , AABPAABBC,BC平面PAB. PB平面PAB, PBBC . （2）解解 建立如图所示的空间直角坐标系xyzA则D（1，0，0） ，C（2，1，0） ，P（0，0，1）.DC=（1，1，0） ，DP=（1，0，1）, 设平面PCD的法向量为n=（x，y，z） ，则：A C P B 1A1C1B图 A C P B 1A1C1B图 C 高中数学总复习00zxDPnyxDCn ， 令1x，得1, 1zy，n=（1，1，1）.显然，PA是平面ACD的一个法向量，PA=（, 0 , 01） cos=33131 PAnPAn 二面
