《高三数学第一轮复习圆的方程课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学第一轮复习圆的方程课件（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、要点梳理 1.圆的定义在平面内，到 的距离等于 的点的叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是 和 . 3.圆的标准方程 （x-a）2+（y-b）2=r2（r0）,其中 为圆心,为半径.,圆,集合,圆心,半径,(a,b),r,定点,定长,4.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是,其中圆心为 ,半径r= . 5.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： （1） ； （2） ； （3） .,D2+E2-4F0,根据题意，选择标准方程或一般方程,根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组,解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程,6.点与
2、圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)（1）点在圆上: ;（2）点在圆外: ;（3）点在圆内: . 7.过圆上一点的圆的切线方程 设圆的标准方程x2+y2=r2,点M(x0,y0)为圆上一点，则 过M的圆的切线方程为: ; 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0) 圆上一点，则过M的圆的切线方程为:;,(x0-a)2+(y0-b)2=r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,x0x+y0y=r2,(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2,基础自测 1.方程x
3、2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是 （ ）A.a-2或a B. a0C.-2a0 D.-2a解析 方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0转化为 +(y+a)2= a2-a+1,所以若方程表示圆，则有3a2+4a-40,-2a .,D,2.圆x2+y2-2x+2y+1=0的圆心到直线x-y+1=0的距离是 （ ）A. B. C. D. 解析 配方得(x-1)2+(y+1)2=1,圆心（1，-1）到直线的距离d=,D,3.（2009重庆）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程是 （ ）A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x
4、-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1解析 设圆的圆心C（0，b）,则=1,b=2.圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.,A,4.当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心， 为半径的圆的方程为 （ ）A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0解析 直线方程变为（x+1）a-x-y+1=0,C（-1，2）.所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.即x2+y2+2x-4y=0.,C,5.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 （
5、 ）A.（x-3）2+(y+1)2=4B.（x+3）2+(y-1)2=4C.（x-1）2+(y-1)2=4D.（x+1）2+(y+1)2=4解析 设圆心C的坐标为(a,b),半径为r.圆心C在直线x+y-2=0上，b=2-a.|CA|2=|CB|2，（a-1）2+（2-a+1）2=（a+1）2+（2-a-1）2，a=1，b=1.r=2，方程为(x-1)2+(y-1)2=4.,C,题型一 求圆的方程 【例1】求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被 直线x-y=0截得的弦长为2 的圆的方程.由条件可设圆的标准方程求解，也可设 圆的一般方程，但计算较繁琐. 解 设所求的圆的方程是 （x-a）2
6、+（y-b）2=r2， 则圆心（a，b）到直线x-y=0的距离为 ， r2=,题型分类 深度剖析,思维启迪,即2r2=(a-b)2+14 由于所求的圆与x轴相切，r2=b2. 又因为所求圆心在直线3x-y=0上， 3a-b=0. 联立，解得 a=1,b=3,r2=9或a=-1,b=-3，r2=9. 故所求的圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.,探究提高 求圆的方程，一般用待定系数法.圆的 一般式和标准式均有三个未知数，合理选择方程 形式可以减少运算量，若已知与圆的圆心和半径 有关的条件，应优先选择圆的标准形式.,知能迁移1（2009辽宁）已知圆C与直线x
7、-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为 （ ）A.（x+1）2+(y-1)2=2B.（x-1）2+(y+1)2=2C.（x-1）2+(y-1)2=2D.（x+1）2+(y+1)2=2解析 由题意可设圆心坐标为（a,-a）,则 ,解得a=1，故圆心坐标为（1，-1），半径r= 所以圆的方程为（x-1）2+(y+1)2=2.,B,【例2】(12分)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. （1）求y-x的最大值和最小值； （2）求x2+y2的最大值和最小值.根据代数式的几何意义，借助于平面 几何知识，数形结合求解. 解 圆的标准方程为(x-2)2+y2=3.
8、 1分 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当 直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最 小值，3分 此时 解得b=-2 .5分 所以y-x的最大值为 最小值为 7分,思维启迪,题型二 与圆有关的最值问题,（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由 平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交 点处取得最大值和最小值. 9分 又圆心到原点的距离为 10分 所以x2+y2的最大值是 x2+y2的最小值是 12分,探究提高 与圆有关的最值问题，常见的有以下几 种类型：(1)形如 形式的最值问题，可转 化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t=ax+by形式的 最值问题，
9、可转化为动直线截距的最值问题；(3)形 如（x-a）2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点 到定点的距离的平方的最值问题.,知能迁移2 已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求 的最大值和最小值.解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r= +1= ，最小值为d-r= -1= .,（2）设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.tmax= -2，tmin=-2- .
10、（3）设k=则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，,题型三 与圆有关的轨迹问题 【例3】设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标,代入圆的方程可求.,思维启迪,解 如图所示，设P（x，y），N（x0， y0），则线段OP的中点坐标为 线段MN的中点坐标为由于平行四边形的对角线互相平分，N（x+3，y-4）在圆上，故（x+3）2+（y-4）2=4. 因此所求轨迹为圆：(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去 两点 (点P在直线OM上
11、时的情况).,探究提高 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条 件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目 提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定 义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程; 代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点 满足的关系式等.,知能迁移3 已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点.（1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若PBQ=90，求PQ中点的轨迹方程.解（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x-2,2y）.P点在圆x2+y2=4上，（2x-2）2+（2y）2=4.故线段AP中点的轨迹
12、方程为（x-1)2+y2=1.,（2）设PQ的中点为N（x，y）， 在RtPBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点， 连结ON，则ONPQ， 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故PQ中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.,题型四 圆的综合应用 【例4】已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.（1）利用垂直列出坐标之间关系， 再化为m的方程求解；（2）OPOQ得到O点在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解；（3）利用圆的
13、性质列出m的方程求解.,思维启迪,解 将x=3-2y, 代入方程x2+y2+x-6y+m=0, 得5y2-20y+12+m=0. 设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件： y1+y2=4,y1y2= OPOQ,x1x2+y1y2=0. 而x1=3-2y1,x2=3-2y2 x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2 m=3,此时0,圆心坐标为 ，半径r = .,探究提高 在解决与圆有关的问题中，借助 于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简 化思路，简便运算.,知能迁移4 已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直 线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (mR
14、). （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相 交； （2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时 的直线方程.,（1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0, 即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与 2x+y-7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1）， 又有（3-1）2+（1-2）2=525,点（3，1）在 圆内部， 不论m为何实数，直线l与圆恒相交. （2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1） 且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦 长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2,此时，kl=- 从而kl=- =2. l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.,方法与技巧 1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数. 2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.,
