2第二章导数与微分1

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1、第二章第二章 导数与微分导数与微分【考试要求】1理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数2会求曲线上一点处的切线方程与法线方程3熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法4掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数5理解高阶导数的概念，会求简单函数的阶导数n6理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分【考试内容】一、导数（一）导数的相关概念1函数在一点处的导数的定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量( )yf x0xx0x（点仍在该邻域内）时，相

2、应的函数取得增量x0xx；如果与之比当时的极限存在，则称函00()()yf xxf x yx0x 数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为( )yf x0x( )yf x0x，即0()fx，00 000()()()limlim xxf xxf xyfxxx 也可记作，或0x xy 0x xdy dx0( )x xdf x dx说明：说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有和00 00()()()lim hf xhf xfxh；式中的即自变量的增量00 0 0( )()()lim xxf xf xfxxxhx2导函数上述定义是函数在一点处可导如果函数在开区间内的每点处都可导，( )y

3、f xI就称函数在区间内可导这时，对于任一，都对应着的一个确定的( )f xIxI( )f x导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数的导函数，记( )yf x作，或显然，函数在点处的导数就是导函y( )fxdy dx( )df x dx( )f x0x0()fx数在点处的函数值，即( )fx0xx00()( )x xfxfx3单侧导数（即左右导数）根据函数在点处的导数的定义，导数( )f x0x是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极00 00()()()lim hf xhf xfxh限都存在并且相等，因此存在（即在点处可导）的充分必要条件是左右0()fx( )f x0x

4、极限 及 都存在且相等这两000()()lim hf xhf x h000()()lim hf xhf x h个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作和，即( )f x0x0()fx0()fx，现在00 00()()()lim hf xhf xfxh00 00()()()lim hf xhf xfxh可以说，函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都( )f x0x0()fx0()fx存在并且相等说明：说明：如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说( )f x( , )a b( )fa( )fb在闭区间上可导( )f x , a b4导数的几何意义函数在点处的导数在几何上表示曲线在点

5、( )yf x0x0()fx( )yf x处的切线的斜率，即，其中是切线的倾角如果00(,()M xf x0()tanfx在点处的导数为无穷大，这时曲线的割线以垂直于轴的直线( )yf x0x( )yf xx为极限位置，即曲线在点处具有垂直于轴的切线0xx( )yf x00(,()M xf xx0xx根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线在点处( )yf x00(,)M xy的切线方程和法线方程分别为：切线方程：；000()()yyfxxx法线方程：00 01()()yyxxfx 5函数可导性与连续性的关系如果函数在点处可导，则在点处必连续，但反之不一定成立，( )yf x0x( )f

6、 x0x即函数在点处连续，它在该点不一定可导( )yf x0x（二）基本求导法则与导数公式1常数和基本初等函数的导数公式（1） ； （2） ；( )0C 1()xx （3） ； （4） ；(sin )cosxx (cos )sinxx （5） ； （6） ；2(tan )secxx (cot )cscxx （7） ； （8） ；(sec )sec tanxxx (csc )csc cotxxx （9） ； （10） ；()lnxxaaa ()xxee （11） ； （12） ；1(log)lnaxxa 1(ln )xx （13） ； （14） ； 21(arcsin ) 1x x 21(arc

7、cos ) 1x x （15） ； （16） 21(arctan )1xx 21(arccot )1xx 2函数的和、差、积、商的求导法则设函数，都可导，则( )uu x( )vv x（1） ；()uvuv（2）（是常数） ；()CuCuC（3） ；()uvu vuv（4） （） 2( )uu vuv vv 0v 3复合函数的求导法则设，而且及都可导，则复合函数( )yf u( )ug x( )f u( )g x的导数为 或 ( )yf g xdydy du dxdu dx( )( )( )y xf ug x（三）高阶导数1定义一般的，函数的导数仍然是的函数我们把( )yf x( )yfxx的

8、导数叫做函数的二阶导数，记作或，即( )yfx( )yf xy22d y dx或 相应地，把的导数叫做函数()yy 22d yddy dxdx dx( )yf x( )fx的一阶导数类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四( )yf x阶导数，一般的，阶导数的导数叫做阶导数，分别记作(1)nn， 或 ， y(4)y( )ny33d y dx44d y dxnnd y dx函数具有阶导数，也常说成函数为阶可导如果函数在( )yf xn( )f xn( )f x点处具有阶导数，那么在点的某一邻域内必定具有一切低于阶的导数二xn( )f xxn阶及二阶以上的导数统称为高阶导数（四）隐

9、函数的导数函数的对应法则由方程所确定，即如果方程确定了一个( , )0F x y ( , )0F x y 函数关系，则称是由方程所确定的隐函数形式隐( )yf x( )yf x( , )0F x y 函数的求导方法主要有以下两种：1方程两边对求导，求导时要把看作中间变量xy例如：求由方程所确定的隐函数的导数0yexyedy dx解：方程两边分别对求导， ，x()(0)y xxexye 得 ， 从而 0ydydyeyxdxdxydyy dxxe 2一元隐函数存在定理 xyFdy dxF 例如：求由方程所确定的隐函数的导数0yexyedy dx解：设 ，( , )yF x yexye则 ()()y

10、x yyyexyeFdyyx dxFexexyey （五）由参数方程所确定的函数的导数一般地，若参数方程 确定是的函数，则称此函数关系所表达的函数( ) ( )xt yt yx为由该参数方程所确定的函数，其导数为 ，上式也可写成 ( ) ( )dyt dxt dy dydt dxdx dt其二阶导函数公式为 223( )( )( )( ) ( )d ytttt dxt （六）幂指函数的导数一般地，对于形如（，）的函数，通常称为幂指函( )( )v xu x( )0u x ( )1u x 数对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法：1复合函数求导法将幂指函数利用指数函数和对数函数的性质化为的形式，

11、然后利( )( )v xu x( )ln ( )v xu xe用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的恢复为的形式( )ln ( )v xu xe( )( )v xu x例如：求幂指函数的导数xyxdy dx解：因 ，故lnxxxxelnln( ln )(1ln )xxxxxdydeexxxxdxdx2对数求导法对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求对的导数yx例如：求幂指函数的导数xyxdy dx解：对幂指函数两边取对数，得 ，该式两边对求导，其中是xyxlnlnyxxxy的函数，得 ，故 x11lndyxy dx (1ln )(1ln )xdyyxxxdx二、函数的微分1定义：可导函

12、数在点处的微分为 ；可导函数( )yf x0x00()x xdyfx dx在任意一点处的微分为( )yf xx( )dyfx dx2可导与可微的关系函数在点处可微的充分必要条件是在点处可导，即可微( )yf xx( )yf xx必可导，可导必可微3基本初等函数的微分公式（1） ； （2） ；( )0d Cdx1()d xxdx（3） ； （4） ；(sin )cosdxxdx(cos )sindxxdx （5） ； （6） ；2(tan )secdxxdx(cot )cscdxxdx （7） ； （8） ；(sec )sec tandxxxdx(csc )csc cotdxxxdx （9） ；

13、 （10） ；()lnxxd aaadx()xxd ee dx（11） ； （12） ；1(log)lnadxdxxa1(ln )dxdxx（13） ； （14） 21(arcsin ) 1dxdx x 21(arccos ) 1dxdx x ；（15） ； （16） 21(arctan )1dxdxx21(arccot )1dxdxx 4函数和、差、积、商的微分法则设函数，都可导，则( )uu x( )vv x（1） ；()d uvdudv（2）（是常数） ；()d CuCduC（3） ；()d uvvduudv（4） （） 2( )uvduudvdvv0v 5复合函数的微分法则设及都可导，

14、则复合函数的微分为 ( )yf u( )ug x ( )yf g x由于，所以复合函数( )( )xdyy dxf u g x dx( )g x dxdu的微分公式也可写成 或 ( )yf g x( )dyf u duudyy du由此可见，无论是自变量还是中间变量，微分形式保持不变这u( )dyf u du一性质称为微分形式的不变性该性质表明，当变换自变量时，微分形式并不改变( )dyf u du【典型例题】【例例 2-1】以下各题中均假定以下各题中均假定存在，指出存在，指出表示什么表示什么0()fxA1000()()lim xf xxf xAx 解：根据导数的定义式，因时，故0x 0x ，0000 000()()()()limlim() xxf xxf xf xxf xfxxx 即 0()Afx 2设，其中，且存在