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1、1,第七章 应力和应变分析 强度理论,2,目录,目录, 应力状态概述 二向和三向应力状态的实例 二向应力状态分析-解析法 二向应力状态分析-图解法 三向应力状态 *位移与应变分量 *平面应变状态分析 广义胡克定律 复杂应力状态下的应变能密度 强度理论概述 四种常用强度理论 莫尔强度理论 构件含裂纹时的断裂准则,3,低碳钢,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸 铁,1、问题的提出,7-1 应力状态概述,目录,4,脆性材料扭转时为什么沿45螺旋面断开？,低碳钢,铸 铁,7-1 应力状态概述,目录,5,二、应力状态的概念及其描述,（一）、应力状态的概念,轴向拉压:,同一横截面上各点应力相等：,7-
2、1 应力状态概述,目录,6,同一点在斜截面上时：,此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。,7-1 应力状态概述,目录,7,横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。,梁的弯曲:,7-1 应力状态概述,目录,8,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。,应 力,哪一个面上？ 哪一点？,哪一点？ 哪个方向面？,指明,7-1 应力状态概述,目录,9,1、应力的面的概念,应力的三个重要的概念,2、应力的点的概念,3、应力状态的概念,7-1 应力状态概述,目录,10,单元体,（二）、一点应力状态的
3、描述,若单元体各个面上的应力已知， 由平衡即可确定任意方向面上的正 应力和切应力。,7-1 应力状态概述,目录,11,示例一,7-1 应力状态概述,目录,12,1,同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式:,7-1 应力状态概述,目录,13,示例二：,S平面,7-1 应力状态概述,目录,14,S平面,2,3,7-1 应力状态概述,目录,15,目录,示例三,7-1 应力状态概述,16,单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 称为主应力，分别用 表示，并且 该单元体称为主应力单元。,(三)主平面主应力,7-1 应力状态概述,目录,17,空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零,平面（二
4、向）应力状态：一个主应力为零,单向应力状态：两个主应力为零,7-1 应力状态概述,目录,应力状态分类,18,7-2 二向和三向应力状态的实例, 重要应用实例,承受内压薄壁容器任意点的应力状态,（壁厚为t，内直径为d，td，内压为p）,目录,19,7-2 二向和三向应力状态的实例,目录,20,7-2 二向和三向应力状态的实例,目录,21,承受内压薄壁容器 任意点的应力状态:,7-2 二向和三向应力状态的实例,目录,22,7-2 二向和三向应力状态的实例,其它实例参见P.213216,目录,23,1.斜截面上的应力,7-3 二向应力状态分析-解析法,目录,24,列平衡方程,7-3 二向应力状态分析
5、-解析法,目录,25,利用三角函数公式,并注意到 化简得,7-3 二向应力状态分析-解析法,目录,26,2.正负号规则,正应力：拉为正；反之为负,切应力：使单元体顺时针方向转动为正；反之为负。,角：由x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。,7-3 二向应力状态分析-解析法,目录,27,确定正应力极值,设0 时，上式值为零，即,3. 正应力极值和方向,即0 时，切应力为零,7-3 二向应力状态分析-解析法,目录,28,由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。,所以，最大和最小正应力分别为：,主应力按代数值排序：1 2 3,7-3 二向应力状态分析-解
6、析法,目录,29,4. 最大(小) 切应力：,令： ，可求出两个相差90o的a1: 代表两个相互垂直的最大(小)切应力方位。, 最大(小)切应力：,7-3 二向应力状态分析-解析法,目录,30,试求（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。,例题1：一点处的平面应力状态如图所示。,已知,7-3 二向应力状态分析-解析法,目录,31,解：,（1） 斜面上的应力,7-3 二向应力状态分析-解析法,目录,32,（2）主应力、主平面,7-3 二向应力状态分析-解析法,目录,33,主平面的方位：,代入 表达式可知,主应力 方向：,主应力 方向：,7-3 二向应力状态分析-解析法
7、,目录,34,（3）主应力单元体：,7-3 二向应力状态分析-解析法,目录,35,7-4 二向应力状态分析-图解法,1.理论依据：,目录,36,应力圆：,7-4 二向应力状态分析-图解法,目录,37,以s、t为坐标轴，这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆：以 为半径的圆。,2.应力圆的绘制：,定坐标及比例尺；,取x面，定出D( )点；取y面，定出D( )点；,连DD交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；,7-4 二向应力状态分析-图解法,目录,38,7-4 二向应力状态分析-图解法,目录,39,3. 应力圆的应用确定各方位应力,点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；
8、,角度对应关系：应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a;,旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同；,7-4 二向应力状态分析-图解法,证明见: P.224225,目录,40,求外法线与x轴夹角为a斜截面上的应力，只要以D为起点，按a转动方向同向转过2a到E点，E点坐标即为所求应力值。,用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上剪应力t=0，确定D转过的角度；D转至s轴正向A1点代表smax所在主平面，其转过角度为2 ，转至s轴负向B1点代表smin所在主平面；,确定极值切应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点为t，纵轴坐标最小的G2点为t”，作用面确定方法同主应力。,7-
9、4 二向应力状态分析-图解法,目录,41,1)a=30o斜截面上的应力；2)主应力及其方位；3)最大(小)切应力。,例题2 用应力圆法求:,7-4 二向应力状态分析-图解法,目录,42,4. 梁弯曲的主应力迹线概念,7-4 二向应力状态分析-图解法,目录,43,其中: 实线为主拉应力的迹线，虚线为主压应力的迹线。,7-4 二向应力状态分析-图解法,目录,44,1.定义,三个主应力都不为零的应力状态,7-5 三向应力状态,目录,45, 三向应力状态的应力圆,7-5 三向应力状态,目录,46,平行于s1的方向面其上之应力与s1无关，于是由s2 、 s3可作出应力圆 I,平行于s2的方向面其上之应力
10、与s2无关，于是由s1 、 s3可作出应力圆 II,平行于s3的方向面其上之应力与s3无关，于是由s1 、 s2可作出应力圆 III,s1,s2,s3,7-5 三向应力状态,目录,47,在-平面内，代表任意斜截面的应力的点或位于 应力圆上，或位于三个应力圆所构成的区域内。,7-5 三向应力状态,目录,48,在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：,7-5 三向应力状态,目录,49, 三向应力状态中,（方向与 及 成45角）,7-5 三向应力状态,目录,50,至少有一个主应力及其主方向已知,三向应力状态特例的一般情形,7-5 三向应力状态,目录,51,200,300,50,平面应力状态作
11、为三向应力状态的特例,7-5 三向应力状态,目录,52,tmax,7-5 三向应力状态,目录,53,200,50,300,50,7-5 三向应力状态,目录,54,(1),(3),平面应力状态特点：,7-5 三向应力状态,目录,55,*7-6 位移与应变分量,本节内容将在弹性力学中详细讨论,平面应变分量,目录,56,一、平面应变状态分析,在xoy座标下应变为x y xy 旋转角度 在xoy座标下应变为,*7-7 平面应变状态分析,目录,57,二、主应变和主应变方向,主应变,主应变方向,*7-7 平面应变状态分析,目录,58,三 应变的实测实测中xy不易测定,可先测定三个选定方向的线应变计算,联立
12、解出x y xy,实测中常用的有 直角应变花和等应变花,*7-7 平面应变状态分析,目录,59,1. 基本变形时的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向变形,2）纯剪切胡克定律,7-8 广义胡克定律,目录,60,2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,7-8 广义胡克定律,目录,61,7-8 广义胡克定律,目录,62,3、广义胡克定律的一般形式,7-8 广义胡克定律,目录,63,4、用应变表示应力：,上式中：,7-8 广义胡克定律,目录,64,5、例题例1、 在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到F=300kN的轴向压力。假设钢块不变
13、形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，m=0.30。,7-8 广义胡克定律,目录,65,7-8 广义胡克定律,目录,66,解：在柱体横截面上的压应力为：,7-8 广义胡克定律,目录,在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，即：,考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变e的值为：,67,柱内各点的三个主应力为：,求得：,由广义虎克定律：,7-8 广义胡克定律,目录,68,例3：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了 测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45方向测出 线应变。
14、现测得轴向应变 ， 45方向的应变 为 。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200 GPa,泊松比=0.3。试求F和m的值。,u,u,7-8 广义胡克定律,目录,69,解：,（1）K点处的应力状态分析,在K点取出单元体，,K,其横截面上的应力分量为：,（2）计算外力F.,由广义胡克定律：,7-8 广义胡克定律,目录,70,解得：,（3）计算外力偶m.,已知,式中,7-8 广义胡克定律,目录,71,由,解得：,因此,7-8 广义胡克定律,目录,72,6、 体积变形,变形前单元体体积：,变形后单元体体积：,7-8 广义胡克定律,目录,73,0,单位体积变形：,（体积应变）,7-8 广义胡克定律,目录,74,利用广义胡克定律：,式中：,（体积弹性模量）,（平均正应力）,（体积变形虎克定律）,7-8 广义胡克定律,目录,75,讨论：,1、单位体积变形 只与三个主应力之和有关，与主应力的大小比例无关。,2、因为 ，因此 与取轴方向无关，且三个相互垂直面上的正应变之和不变。,
