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1、现代测试技术习题解答现代测试技术习题解答1第二章第二章 信号的描述与分析信号的描述与分析补充题补充题 2-1-1 求正弦信号0( )sin()x txt的均值x、均方值2 x和概率密度函数p(x)。 解答：(1)0 000011lim( )dsin()d0TTxTx ttxttTT，式中02T正弦信号周期(2)0022 222200 000000111 cos2()lim( )dsin ()dd22TTTxTxxtx ttxtttTTT(3)在一个周期内0122xTttt0002( ) limxxTTTtP xx txxTTT2200000( ) 2 2 d1( )limlimdxxP xx
2、txxttp xxTxTx xx x(t)正弦信号xx+xttt现代测试技术习题解答现代测试技术习题解答22-8 求余弦信号0( )sinx txt的绝对均值x和均方根值rmsx。2-1 求图示 2.36 所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。现代测试技术习题解答现代测试技术习题解答32-4 周期性三角波信号如图 2.37 所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信 号的平均功率。现代测试技术习题解答现代测试技术习题解答42-1 求图示 2.36 所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。补充题补充题 2-1-2 求周期方波（见图 1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式） ，划出|cn| 和 n现代测试
3、技术习题解答现代测试技术习题解答5 图，并与表 1-1 对比。图 1-4 周期方波信号波形图0tx(t)T0 2T0 20TA-AT0解答：在一个周期的表达式为00(0)2( )(0)2TAt x tTAt 积分区间取（-T/2，T/2）0000000022 020002111( )d =d +d=(cos-1) ( =0, 1, 2, 3, )TT jntjntjnt TTncx t etAetAetTTTAjnnn所以复指数函数形式的傅里叶级数为，。001( )(1 cos)jntjnt n nnAx tc ejnen =0, 1, 2, 3, n(1 cos)( =0, 1, 2, 3,
4、 ) 0nInRAcnnn c 2221, 3, ,(1 cos) 00, 2, 4, 6, nnRnIAn Acccn nnn 1, 3, 5,2arctan1, 3, 5,2 00, 2, 4, 6,nI n nRncnc n 没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。现代测试技术习题解答现代测试技术习题解答6|cn|n/2-/200305030502A/2A/32A/5幅频图相频图周期方波复指数函数形式频谱图2A/52A/32A/-0-30-50-0-30-502-5 求指数函数( )(0,0)atx tAeat的频谱。解：(2) 22 0220(2)( )( )(2)2(2)ajf t jf
5、tatjf teAA ajfX fx t edtAeedtAajfajfaf 22( ) (2)kX f af Im()2()arctanarctanRe()XfffXfa 单边指数衰减信号频 谱图f|X(f )|A/ a0(f)f0/ 2-/22-6 求被截断的余弦函数0cos t(见图 1-26)的傅里叶变换。0cos( )0 ttTx ttT解：0( )( )cos(2)x tw tf tw(t)为矩形脉冲信号()2sinc(2)WfTTf 0022 01cos(2)2jf tjf tf tee所以002211( )( )( )22jf tjf tx tw t ew t e图 1-26
6、被截断的余弦 函数ttT-TT-Tx( t)w( t)1001- 1现代测试技术习题解答现代测试技术习题解答7根据频移特性和叠加性得：000011( )()()22 sinc2()sinc2()X fW ffW ffTT ffTT ff可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动 f0，同时 谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。fX(f )Tf0- f0 被截断的余弦函数频 谱2-6 求被截断的余弦函数 cos0t（题图 1-2）的傅立叶变换。解2-7 求指数衰减信号0( )sinatx te t的频谱指数衰减信号x(t)解： 0001
7、sin()2jtjtteej TtTtttx;0;cos)(02100002222 02sinsin2)(2)(sin 2)(2)(sin212cos)()(00 ccTTffTff TffTffTdteeedttefdtetxfXftjtfjtfjTTTTftjftj现代测试技术习题解答现代测试技术习题解答8所以001( )2jtjtatx teeej单边指数衰减信号1( )(0,0)atx teat的频谱密度函数为112201()( )jtatjtajXfx tedteedtaja 根据频移特性和叠加性得：00 10102222 00222 000 22222222 0000()()11(
8、 )()()22()()()2 () () () () ajajXXXjj aaaajaaaa 00X()-()指数衰减信号的频谱 图 2-9 求 h(t)的自相关函数。 (0,0)( )0(0)atetah tt解：这是一种能量有限的确定性信号，所以()01( )( ) ()2ata ta hRh t h tdteedtea2-10 求方波和正弦波（见图 5-24）的互相关函数。ty(t )tx(t )1-11T-1图 5-24 题 5-3 图sin(t )00现代测试技术习题解答现代测试技术习题解答9解法 1：按方波分段积分直接计算。00 3 44304411( )( ) ()() ( )
9、1( 1)sin()1 sin()( 1)sin()2sin()TTxyTTTTTRx t y tdtx ty t dtTTtdttdttdtT A解法 2：将方波 y(t)展开成三角级数，其基波与 x(t)同频相关，而三次以上谐波与 x(t)不同 频不相关，不必计算，所以只需计算 y(t)的基波与 x(t)的互相关函数即可。411( )coscos3cos535y tttt 所以00000114( )( ) ()sin()cos()41sin()sin()22sin(2)sin()220sin()sin()TTxyTTTRx t y tdtttdtTTttttdtT tdtdtT TT 解法
10、 3：直接按 Rxy()定义式计算(参看下图)。0 3 4430441( )( ) ()1( 1)sin()1 sin()( 1)sin()2sin()TxyTTTTTRx t y tdtTt dtt dttdtT Aty(t )tx(t )1- 11T- 1sin( t) 00ty(t+ )1- 104T3 4TTT3 4T4T现代测试技术习题解答现代测试技术习题解答10参考上图可以算出图中方波 y(t)的自相关函数41024( )32()0, 1, 2,yyT TTRTTRnTn Ry()0方波的自相关函数 图TT/ 22-11 某一系统的输人信号为 x(t)（见图 5-25） ，若输出
11、y(t)与输入 x(t)相同，输入的自相关 函数 Rx()和输入输出的互相关函数 Rx()之间的关系为 Rx()=Rxy(+T)，试说明该系统起 什么作用？Rx()0TRxy( )0系 统x(t )y(t )图 5-25 题 5-4 图解：因为 Rx()=Rxy(+T)所以 0011lim( ) ()lim( ) ()TTTTx t x tdtx t y tT dtTT 所以 x(t+)=y(t+T) 令 t1 = t+T，代入上式得 x(t1 - T)=y(t1)，即 y(t) = x(t - T) 结果说明了该系统将输入信号不失真地延迟了 T 时间。2-12 已知信号的自相关函数为 Aco
12、s，请确定该信号的均方值x2和均方根值 xrms。 解：Rx()=Acosx2= Rx(0)=A2 rmsxxA2-13 已知某信号的自相关函数，求均方值 、和均方根值rmsx。2-14 已知某信号的自相关函数，求信号的均值x、均方根值 、功率谱。现代测试技术习题解答现代测试技术习题解答112-15 已知某信号的自相关函数，求信号的自功率谱。 解：采样序列 x(n)11111 000( )( ) ()cos 2()cos()24NNNsss nnnnnx nx ttnTnTtnTt现代测试技术习题解答现代测试技术习题解答122-18 对三个正弦信号 x1(t)=cos2t、x2(t)=cos6
13、t、x3(t)=cos10t 进行采样，采样频率 fs=4Hz，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出 x1(t)、x2(t)、x3(t)的波形及采样点位 置，并解释频率混叠现象。 采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，12 03( )cos()24Nnnnxnt采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，12 05( )cos()24Nnnnxnt采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，x1(t )x2(t )x3(t ) ttt从计算结果和波形图上的采样点可以看出，虽然三个信号频率不同，但采样后输出的 三个脉冲序列却是相同的，这三个脉冲序列反映不出三个信号的频率区别，造成了频率混 叠。原因就是对 x2(t)、x3(t)来说，采样频率不满足采样定理。 2- 19 假定有一个信号 x(t)，它由两个频率、相角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为 x(t)=A1cos(1t+1)+ A2cos(2t+2) 求该信号的自相关函数。解：设 x1(t)=A1cos(1t+1)；x2(t)= A2cos(2t+2)，则11 22 121212111221221( )lim( )( )
