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1、,工 程 力 学,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,131 挠曲线、挠度和转角,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,132 挠曲线的近似微分方程,133 积分法求梁的变形,134 叠加法求梁的变形,136 用变形比较法解简单超静定梁,135 梁的刚度条件与合理刚度设计,本章小结,本章作业,习题：13-4（a,b），13-10,131 挠曲线、挠度和转角,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,131 挠曲线、挠度和转角,梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑曲线称为挠度曲线，简称挠曲线。,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度
2、计算,1. 在平面弯曲的情况下，挠曲线为位于形心主惯性平面内的平面曲线。,2. 横截面形心处的铅垂位移， w称为挠度, 随x而变化， w w（x），称为挠曲线方程,3. 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角，用= （x）表示；称为转角方程,131 挠曲线、挠度和转角,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时(图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这不仅会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作；而且还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声；此外，当轴的变形很大使，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的
3、磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。,131 挠曲线、挠度和转角,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即很小，因而上式中tan。于是有,131 挠曲线、挠度和转角,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,132 挠曲线的近似微分方程,力学中的曲率公式,数学中的曲率公式,132 挠曲线的近似微分方程,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,小挠度情形下,1,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,133 积分法求梁的变形,采用向下的w坐标系，有,对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分
4、别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：,其中C、D为积分常数。,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,133 积分法求梁的变形, 在固定铰支座和辊轴支座处，边界条件为挠度等于零： x=0和x=l时 w=0;, 在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零： x=0时 w=0。,133 积分法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,边界条件：, 连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，要分段写出，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等： w1= w2，12,133 积分法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与
5、刚度计算,连续性条件：,xl/4， w1w2 xl/4，1=2,例13-1,书234,133 积分法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,例13-2,书235,133 积分法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,例13-3,书236,133 积分法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算, 确定约束力,判断是否需要分段以及分几段, 分段建立挠度微分方程, 微分方程的积分, 利用约束条件和连续条件确定积分常数, 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角,积分法小结, 分段写出弯矩方程,133 积分法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,第13
6、章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,134 叠加法求梁的变形,在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。,基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。,134 叠加法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。,求：C截面的挠度wC ；B截面的转角B,例13-4,134 叠加法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,解：1.将梁上的
7、载荷变为3种简单的情形。,134 叠加法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,解：2.由挠度表查得3种情形下C截面的挠度；B截面的转角。,134 叠加法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,解：3. 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加,将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:,134 叠加法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,例13-5,134 叠加法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,例13-6,134 叠加法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,例13-7,134 叠加法求梁的变形,第
8、13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,135 梁的刚度条件与合理刚度设计,对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。,135 梁的刚度条件与合理刚度设计,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度设计准则：,式中 w 和 分别
9、称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。,135 梁的刚度条件与合理刚度设计,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,135 梁的刚度条件与合理刚度设计,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,例13-8,提高梁强度与刚度的措施,135 梁的刚度条件与合理刚度设计,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,1、跨度 2、约束位置与形式 3、载荷形式及位置 4、截面形状 5、材料,提高刚度的途径,135 梁的刚度条件与合理刚度设计,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,1、减小梁的跨度,若跨度缩短10%，最大挠度减小34.4%,提高刚度的途径,135 梁的刚度条件与合理
10、刚度设计,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,三者比值： 128 ：8 ：1,2、合理安排梁的约束方式,提高刚度的途径,135 梁的刚度条件与合理刚度设计,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,3、合理安排梁的约束与加载方式,最大挠度是集中载荷的37.5%,提高刚度的途径,135 梁的刚度条件与合理刚度设计,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,4、合理选择截面形状用较小的截面，获得较大的惯性矩（工字钢、T形钢、槽钢等）有效提高整体刚度,提高刚度的途径,135 梁的刚度条件与合理刚度设计,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,5、合理选择材料刚度与弹性模量E成反比各种钢材的Excel
11、差值很小，但强度极限差值很大。,实例：在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以提高加工精度，在卡盘与尾架之间增加一个中间支架,135 梁的刚度条件与合理刚度设计,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,136 用变形比较法解简单超静定梁,3-3=0,4-3=1,136 用变形比较法解简单超静定梁,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,532,633,136 用变形比较法解简单超静定梁,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,应用小变形概念可以推知某些未知量,由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁自由端B处水平位移u=0。既然u=
12、0，在没有轴向载荷作用的情形下，固定铰支座和固定端处便不会产生水平约束力，即FAx FBx= 0。因此，求解这种超静定问题只需1个补充方程。可以写出变形协调方程为,136 用变形比较法解简单超静定梁,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,应用对称性分析可以推知某些未知量,FAx= FBx= 0,FAy= FBy= q l / 2 ,MA=MB,对于两端固定的梁，同样有FBx=0，但这时的多余约束力除FBy外，又增加了MB。于是需要两个补充方程。但是，利用对称性分析，这种梁不仅结构和约束都对称，而且外加载荷也是对称的，即梁的中间截面为对称面。于是可以确定：,136 用变形比较法解简单超静定梁,
13、第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,与未知力偶MB对应的约束是对截面B转角的限制，故这种情形下的变形协调方程为,136 用变形比较法解简单超静定梁,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,例13-9,136 用变形比较法解简单超静定梁,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,本章小结,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,本章小结,作业：,134 13-8,例题1,求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。,已知：简支梁受力如图示。FP、EI、l均为已知。,133 积分法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,解：1 确定梁约束力,因为B
14、处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。,首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。,2 分段建立梁的弯矩方程,在图示坐标系中，为确定梁在0l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。,133 积分法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,AB段,解： 2 分段建立梁的弯矩方程,BC段,133 积分法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,解： 3 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分,133 积分法求梁的变形,第
15、13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,解： 3 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分,积分后，得,其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，可由支承处的边界（约束）条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。,133 积分法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,解： 4 利用约束条件和连续条件确定积分常数,在支座A、C两处挠度应为零，即,x0， w10; xl， w20,因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等:,xl/4， w1w2 ; xl/4，1=2,133 积分法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,解： 4 利用约束条件和连续条件确定积分常数,x0， w10; xl， w20,xl/4， w1w2 ; xl/4，1=2,D1D2 =0,133 积分法求梁的变形,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,解： 5 确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角,将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：,AB段,BC段,据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为,133 积分法求梁的变形,
