《数值分析第一章1.1误差》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析第一章1.1误差（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数 值 分 析,第一章 误差,数值分析是计算数学核心课程，它研究高等数学和线性代数中基本数学问题的数值解法，以及在求解过程中出现的收敛性、数值稳定性和误差估计等问题。,1 误差,数值解：满足一定精度的近似解。,精度：我们用误差或近似数的有效数字刻划。,一、 误差的产生和分类,实际 问题,验证结果,编程求解,选择算法,收集数据,建立模型,模型误差,观测误差,截断误差,舍入误差,（2）观测误差：数学模型中一些物理量的观测值，如：电压、温度、长度等，不可避免会带来误差，称为观测误差。,（1）模型误差：由实际问题转化为数学问题，在建立数学模型时，数学模型与实际问题之间出现的误差称为模型误差。,（3）截
2、断误差：计算机在求解数学模型时选用数值计算方法，由此方法产生的误差称为截断误差。,（4）舍入误差：由于计算机字长有限，只能对有限位进行运算，因而往往进行四舍五入，这样产生的误差称为舍入误差。,误差是不可避免的，要做到与实际问题的绝对准确是办不到的。因此，我们主要研究怎样尽量设法减少截断误差和舍入误差，提高计算精度。,例如 在计算机上计算级数,取前四项计算 的近似值,产生的误差即截断误差为：,是物理量 的一个近似值。,二、绝对误差、相对误差与有效数字,1、绝对误差与绝对误差限称 为近似数 的误差， 为绝对误差，用 表示，即 。,称 为 的绝对误差限。,实际问题中，由于物理量未知，因而无法计算绝对
3、误差的大小，只能根据具体情况估计绝对误差的上限，即求 使,在工程技术中，将准确值 , 近似值 绝对误差限 , 的关系表示成,例如 表示近似值,绝对误差可以刻画近似值的准确程度。,若 的近似值 的绝对误差为,则称比值 为近似值 的相对误差,用 表示, 即,当 较小时，由于,2、相对误差与相对误差限,差限，常用百分数表示。,例如,的相对误差和相对误差限分别是,和,近似值 比 的准确度好得多。,则绝对误差限,近似值 具有三位有效数字。,3、有效数字,如果,则称近似值 有 位有效数字。,准确数有无限位有效数字。,三、 函数的误差估计,数值运算中，由于所给数据的误差，必然影响到计算结果的准确性，这种影响
4、较复杂，一般采用泰勒级数展开的方法来估计。,设 分别是 的近似值，,于是函数近似值 的绝对误差,即 (1),函数近似值 的相对误差,利用（1）、（2）两式，可以得到两数和、差、积、商的绝对误差与相对误差传播的估计式,（2）,一、选择计算复杂性较好的算法,时间复杂性：乘除法计算量多少。,空间复杂性：算法所占计算机内存多少。,2 数值计算中应该遵循的原则,例1、计算,解、算法一：,算法二：,二、选择算法数值稳定性较好的算法,从误差传播规律和计算机字长的特点，在运算过程中舍入误差对结果影响不大的算法称为稳定的算法。研究算法的稳定，一种简便的方法是：假定初始值有误差 ,中间不产生新误差，考察由 引起的
5、误差积累是否增长，如不增长就认为是稳定的，如严重增长就认为不稳定。,例2、建立积分,的递推关系式，研究它的误差传递。解：由,和,可建立递推公式,（1）,设计算 时的舍入误差为,因而实际计算的递推公式是：,的近似值为 ,即,（(2）,误差 是怎么传递的,（1）-（2）得,递推得到,若由,解出,先求出 ，然后依次算出,由 ，由第二积分中值定理:,有,所以,于是,若取,由此得到,该方法对 的舍入误差 传递情况是,递推可得,所以,误差传递逐步缩小，实际计算求得,它是 的具有8位有效数字的近似值。,如果第 步的误差 与第 步的误差,满足,则称计算公式是绝对稳定的。,可以看出: 可能比 大得多。,当 与
6、相近， 就可能很大，从而导,致计算结果的有效数字位数的减少。,三、避免两接近的近似数相减由两近似值差 的相对误差关系式,例3 、试计算,(准确值为0.000000033921915),解、,可见，计算结果不可靠。若用,得到一个精度很高的近似值。,四、避免“大数除以小数”,由二元函数的误差传播规律式知,可知，当 相对 小时， 会很大。,由于计算机采用浮点制，在数值运算中，如果数据的数量级相差很大，如不注意运算次序，就可能出现大数“吃掉”小数的现象。,五、 防止大数“吃掉”小数,例4 、求一元二次方程实根,有两个互异实根,如果用求根公式,采用八位十进制在计算机上计算，, 其中 明显错误。,表明 与1两数相加，大数 “吃掉”了小数1。,于是所得两根为,求出 ，再利用韦达定理,若利用,求出 ，就可以保证一元二次方程,两个根都是可靠的。,例5 试用八位十进制计算,解、,
