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1、计量经济模型与经济预测,天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,一、线性回归模型,最小二方程原理和参数估计 =a+bxy Q=(y- ) 最小=(y-a-bx)2 最小 对a和b求一阶微分2Q/2A=2 (y-a-bx)(-a)=02Q/2B= 2 (y-a-bx)(-bx)=0x 得: y-na-b x=0 y=na+bx=0xy-ax-bx2=0 xy=ax+bx2=0 得： a= y/n-b (y/n)b= xy- (x) (y) /n/ x2-(x)2=Lxy/Lxx 回归系数b说明当x变动一个单位时，y平均变动一个b的值,天马行空官方
2、博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,回归误差估计和相关系数估计标准误差： Sy= (y- )2/(n-2) = (y2-a y-b xy)/n-2相关系数： R=Lxy/ LxxLyyLxy= xy- (x y)/nLxx= x2-(x)2/nLyy= y2- (y)2/n,线性回归模型预测,当计算回归模型由大样本计算时（n30)，其预测区间的误差分布服从正态分布，则预测区间为：0=(a+bx0) (Z2/2)Sy当计算回归模型由小样本计算时（n30),其预测区间的误差分布服从七分布，则预测区间为：0 =（a+ bx0) (Ta/2) Sy 1+1/n
3、+(X0-X)2/ (X-X)2,例：,解：b338.41/6(23)(86.5)/95-1/6(23)2=0.998a86.5/60.998(23/6)=10.59 待线性回归方程： 10.59+0.998x即建筑面程每增加一万m2，建造成本要平均增加0.998万元Sy= (y- )2/(n-2)= 0.0181924/(6-2)=0.2133r=Lxy/ LxxLyy = (xy- x y/n)/ x2-(x)2/ny2-(y)2/n=0.973 预测：假设x0=4.5时，y0=10.59+0.9984.5=15.081(万元），当n=630时，查七分布表ta/2(n-2)=t(0.025
4、)(4)2.78 ta/2(n-2) Sy 1+1/n+(x0-x)2/ (x-x)2=0.6579 所以建造成本的区间预测在显著性水平为a=5%，即以95%的概率计算y0=15.0810.6579，即在14.423115.7389万元之间,二、非线性回归模型曲线回归模型,在对客观现象选择回归模型时，应注意：1、回归方程的形式应与经济学的基本理论相一致，应该在定性分析和定量分析的基础上选择适当的回归模型 2、回归方程与实际现象的变量值应要有较高的拟合程度，能较好地反映经济实际运行趋势 3、在对方程的模型一时无法判断时，可先画散点图，观察现象实际值的变动趋势，来选择相应的拟合回归模型。或者多选择
5、几个回归模型，加以拟合，分别计算估计标准误差，选择估计标准误差最小的那个回归模型 4、回归模型的数学形式要尽可能简单，一般说来，数字型式越简单，则基回归模型的可操作性越强。过于复杂的回归模型的数学形式在实际经济分析和经济预测中，其实际应用价值不大,抛物线方程： =a+bx+cx2 根据最小二乘法原理，求该方程待定a、b、c参数的方程组如下：y=na+b x+c x2 yxy=a x+b x2+c x3x2y=a x2+b x3+C x4x 判定某变量趋势是否符合抛物线议程时，可利用差分法： 1、当X以一个常数变化时，Y的一阶差分即Y=Yt-Yt-1的绝对值也接近一个常数时，该变量的变化可用直线
6、方程来拟合。 2、当X从一个常数变化时，Y的二阶差分即Y2t= Yt- Yt-1的绝对值接近一个常数时，该变量的变化可用抛物线方程来拟合。,抛物线方程,指数曲线方程,该方程常用于拟合某变量值的环比，即Yt/Yt-1的绝对值近似于一个常数时，就可用指数曲线方程来拟合。=abx 对方程两边求对数： lgy=lga+lgbx 换元令lgy=Y lga=A lgb=B 得： Y=A+Bx，化成直线方程的形式，求出A、B的参数值，再分别求反对数，就可求出a、b的参数值， 指数曲线因a、b的取值不同而表现出不同的变化形式：x x x xy y y y,对数函数曲线,=a+blnx,令x=lnx，把方程变成
7、直线方程的形式，求出a、b的参数值。对数函数的特点是随着x的增大，x的单位变动对Y的影响效果递减。,S函数曲线（逻辑曲线）, =1/a+be-x y 换元令y=1/y, x=e-x 得y=a+bx化成直线方程的形式 p 可求出a、b的参考值。该方程的 特点是某变量刚开始时，随着X x 的增加，y的增长速度逐渐增加， I II III IV 当y达到一定水平时，其增长速度又放慢，最后超近于 一条渐近线。该方程经常用来描述某消费品的生命周期的变化，可将其分为四个阶段，即缓慢增长快速增长增速放慢相对饱和p为一拐点。,三、多元回归模型,模型与参数估计 =a+bx1+cx2+dx3+ 多元回归就是分析在
8、多个自变量（x)与因变量（y)相互关系的基础上，确定一个多元回归模型，然后根据各个自变量的变动来估计或预测因变量的变动程度。 根据最小二乘法原理，以二元回归方程为例，说明求其参数的方法： =a+ bx1+cx2y=na+bx1+cx2x1y= ax1 +bx12 +c x1 x2x2y= ax2 +b x1 x2 +cx22,例：根据下表计算二元回归方程,将上述有关数字代入二元回归的方程组：,986=7a+3622b+2472c501415=3622a+1877174b+1281444c341923=2472a+1281444b875116c得：a=-5.0657 b=1.0072 c=-1.
9、0698二元回归方程：=-5.0657+1.0072x1-1.0698x2,多元回归方程的矩阵形式,二元回归方程的矩阵形式表现为： Y=XB 其中：y1 1 x21 xk1 b1y2 1 x22 xk2 b2Y= X= B= yn 1 x2n xkn bn按矩阵计算原理： Y=XBXY=XXB (XX)-1XY=(XX)-1(XX)B B=(XX)-1XY,例：下表列出某商品销售量（Y）与居民人均收入（x1）和单价（x2）的有关资料。,上表中有关数据的矩阵表示为：,1 5 2 10 b1 10 98 35 X= 1 7 3 Y= 10 B= b2 (xx)= 98 1038 359 35 35
10、9 133 1 15 4 23 b3166 1.6416 -0.0839 -0.2054(xy)= 1743 (xx)-1 = -0.0839 0.0188 -0.0286592 -0.2054 -0.0286 0.13891.6416 -0.0839 -0.2054 166 4.58751 B= (xx)-1xy= -0.0839 0.0188 -0.0286 1743 = 1.86847-0.2054 -0.0286 0.1389 592 -1.79957 由此得多元回归方程为： =4.58751+1.86847x1-1.79957x2,回归方程的方差估计,Sy2=(y- )2/(n-k)
11、= e2/(n-k) e2=ee=YY-BXY=2980-4.58751166-1.86847 1743+1.79957+1.79957 592=27.08e2 27.08 S= S2 = n-k = 10-3 = 3.8686 =1.97S称为回归方程的估计标准误差，S越小 则表明样本回归方程的代表性越强,多元回归方程的检验,根据线性方程方差分析的原理： （y-y)2= （-y)2+ （y-)2 (y- ) (y-y) S总=S回+S残 (-y) y1.回归方程拟合程度检验 在回归方程拟合程度检验中，应用可决系数指标来回加以检验，可决系数越大，说明回归方程对实际数值的拟合程度越好 R2= (-y)2/ (y-y)2= S回/ S总=1- S残/ S总 在考虑变量自由度的情况下，修正的可决系数： R2= S回/（n-k)/ S总/(n-1)=1- S残/(n-k)/ S总/(n-1)=1-27.08/(10-3)/244.4/(10-1)=0.84,
