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1、行列式习题课,1.复习主要内容 2.习题举例 3.学生练习 4.测试题,一、 复习主要概念 1行列式的定义 2行列式的性质 3行列式的计算 用定义计算行列式 用上（下）三角形行列式计算行列式 利用行列式的展开法计算行列式 利用Vandermonde行列式计算行列式 用Laplace定理计算特殊的阶数大的行列式 递推法、加边法、归纳法等等. 4. Cramer法则,行列式的定义,行列式的等价定义,其中,行列式的性质,上（下）三角行列式的值为其所有对角元之积 将行列式某行（列）乘以常数c,则行列式值为原来的c倍；即行列式某行（列）的公因子可以提到行列式外面 互换行列式任意两行（列），行列式值改号
2、行列式两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0,将行列式的一行（列）乘以某个常数c加到另一行（列）上去，行列式值不变,行列式的某一行（列）是两阻数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和.,行列式展开公式: 行列式的值等于任意一行(列)元素与它的代数余子式乘积之和.行列式的一行(列)元素与另外一行(列)元素的代数余子式乘积之和恒等于零.,归纳法 （对行列式阶数）,验证结论对n = 1或n=2时成立; 归纳假设对任意满足命题条件的n 1阶(小于n阶)行列式命题成立 利用2）的假设证明命题对n 阶行列式也成立,k阶子式、余子式、代数余子式,Laplace定理,设A是n阶行列式，在A中任取k行（列）
3、，那么含于这k行（列）的全部k阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和等于A.即若取定k个行：, 用定义计算（证明）,EXA1 用行列式定义计算,二习题举例：,解,注意,EXA 2设行列式 D=求,2 用化三角形行列式计算,EXA3 计算,解,提取第一列的公因子，得,注 本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的,3 用降阶法计算,EXA
4、5 计算,解,注 本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用,4 利用范德蒙行列式计算,EXA3 计算,利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。,解,上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知,注 本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取
5、公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式,5 用递推法计算,EXA7 计算,解,由此递推，得,如此继续下去，可得,评注,6 用数学归纳法,例 证明,证,对阶数n用数学归纳法,求值,7 用展开、递推法,一题多解,计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法,A,三、练习1判断 是不是6阶行列式的项，若是,带什么符号？ 2设行列式求A43.,5.计算下列行列式的值,6证明：,7用范德蒙行列式计算,8.设行列式求第1列元素的代数余子式之和。,10设a1,a2,a3,a4互不相同， 证明线性方程组；有唯一解，并求出其解。,11设线性方程组 有非零解，求m的值 。,
