同济大学---高数上册知识点

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1、高等数学（上）期末复习要点第 1 页 共 9 页高等数学上册复高等数学上册复习习要点要点、函数与极限函数与极限、 函数函数1、 函数定函数定义义及性及性质质（有界性、（有界性、单调单调性、奇偶性、周期性）；性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：初等函数：幂幂函数、指数函数、函数、指数函数、对对数函数、三角函数、反三角函数；数函数、三角函数、反三角函数；4、 函数的函数的连续连续性与性与间间断点；断点；函数函数在在连续连续 )(xf0x)()(lim0 0xfxf xx 第一第一类类：左右极限均存在：左右极限均存在.间间断点断点

2、可去可去间间断点、跳断点、跳跃间跃间断点断点第二第二类类：左右极限、至少有一个不存在：左右极限、至少有一个不存在.无无穷间穷间断点、振断点、振荡间荡间断点断点5、 闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质：有界性与最大：有界性与最大值值最小最小值值定理、零点定理、介定理、零点定理、介值值定理定理及其推及其推论论.、 极限极限1、 定定义义1、 数列极限数列极限 axNnNaxnnn, , , 0lim2、 函数极限函数极限 AxfxxxAxf xx)( 0 , , 0 , 0)(lim0 0使 使使 使使 使左极限：左极限： 右极限：右极限：)(lim)(00xfxf xx)(lim)(0

3、0xfxf xx高等数学（上）期末复习要点第 2 页 共 9 页)()( )(lim00 0xfxfAxf xx使 使使 使2、 极限存在准极限存在准则则1、 夹夹逼准逼准则则： ：1） ）)(0nnzxynnn2） ） azynnnn limlimaxn n lim2、 单调单调有界准有界准则则： ：单调单调有界数列必有极限有界数列必有极限.3、 无无穷穷小（大）量小（大）量1、 定定义义：若：若则则称称为为无无穷穷小量；若小量；若则则称称为为无无穷穷大量大量.0limlim2、 无无穷穷小的小的阶阶：高：高阶阶无无穷穷小、同小、同阶阶无无穷穷小、等价无小、等价无穷穷小、小、阶阶无无穷穷小小

4、kTh1 ;)(oTh2 （无（无穷穷小代小代换换） ） limlim lim,使 使使 使使 使使 使4、 求极限的方法求极限的方法1、单调单调有界准有界准则则； ；2、夹夹逼准逼准则则； ；3、极限运算准极限运算准则则及函数及函数连续连续性；性；4、两个重要极限：两个重要极限：a) b) 1sinlim 0 xxxexxxxxx )11 (lim)1 (lim105、无无穷穷小代小代换换：（：（） ）0xa)xxxxxarctanarcsintansinb)2 21cos1xx高等数学（上）期末复习要点第 3 页 共 9 页c) （ （） ）xex1axaxln1d) （ （） ）xx )

5、1ln( axxaln)1 (loge)xx1)1 (、导导数与微分数与微分、 导导数数1、定定义义： ： 00 0)()(lim)(0xxxfxfxf xx 左左导导数：数： 00 0)()(lim)(0xxxfxfxf xx 右右导导数：数： 00 0)()(lim)(0xxxfxfxf xx 函数函数在在点可点可导导)(xf0x)()(00xfxf2、几何意几何意义义： ：为为曲曲线线在点在点处处的切的切线线的斜率的斜率.)(0xf )(xfy )(,00xfx3、可可导导与与连续连续的关系：的关系：4、求求导导的方法的方法1、 导导数定数定义义； ；2、 基本公式；基本公式；3、 四四

6、则则运算；运算；4、 复合函数求复合函数求导导（ （链链式法式法则则）；）；5、 隐隐函数求函数求导导数；数；6、 参数方程求参数方程求导导； ；7、 对对数求数求导导法法.5、高高阶导阶导数数高等数学（上）期末复习要点第 4 页 共 9 页1、定定义义： ：dxdy dxd dxyd222、Leibniz 公式：公式： nkknkk nnvuCuv0)()()(、 微分微分1、 定定义义： ：，其中，其中与与无关无关.)()()(00xoxAxfxxfyAx2、 可微与可可微与可导导的关系：可微的关系：可微可可导导，且，且dxxfxxfdy)()(00、微分中微分中值值定理与定理与导导数的数

7、的应应用用、 中中值值定理定理1、 Rolle 罗尔罗尔定理：若函数定理：若函数满满足：足：)(xf1） ）； ； 2） ）； ； 3） ）； ；,)(baCxf),()(baDxf)()(bfaf则则.0)(),(fba使 使2、 Lagrange 拉格朗日中拉格朗日中值值定理定理：若函数：若函数满满足：足：)(xf1） ）； ； 2） ）； ；,)(baCxf),()(baDxf则则.)()()(),(abfafbfba使 使3、 Cauchy 柯西柯西中中值值定理：若函数定理：若函数满满足：足：)(),(xFxf1） ）； ； 2） ）； ；3） ）,)(),(baCxFxf),()()

8、,(baDxFxf),(, 0)(baxxF则则)()( )()()()(),(Ff aFbFafbfba使 使、 洛必达法洛必达法则则、 Taylor 公式公式高等数学（上）期末复习要点第 5 页 共 9 页、 单调单调性及极性及极值值1、单调单调性判性判别别法：法：， ， ，则则若若， ，则则,)(baCxf),()(baDxf0)( xf单调单调增加；增加；则则若若， ，则则单调单调减少减少.)(xf0)( xf)(xf2、极极值值及其判定定理：及其判定定理：a) 必要条件：必要条件：在在可可导导，若，若为为的极的极值值点，点，则则.)(xf0x0x)(xf0)(0 xfb) 第一充分条

9、件：第一充分条件：在在的的邻邻域内可域内可导导，且，且， ，则则若当若当)(xf0x0)(0 xf时时， ，当，当时时， ， ，则则为为极大极大值值点；点；若当若当0xx 0)( xf0xx 0)( xf0x时时， ，当，当时时， ， ，则则为为极小极小值值点；点；若在若在0xx 0)( xf0xx 0)( xf0x的两的两侧侧不不变变号，号，则则不是极不是极值值点点.0x)(xf 0xc) 第二充分条件：第二充分条件：在在处处二二阶阶可可导导，且，且， ， ，则则)(xf0x0)(0 xf0)(0 xf若若， ，则则为为极大极大值值点；点；若若， ，则则为为极小极小值值点点.0)(0 xf0

10、x0)(0 xf0x3、凹凸性及其判断，拐点凹凸性及其判断，拐点1） ）在区在区间间 I 上上连续连续，若，若， ，则则称称在在)(xf2)()()2( ,2121 21xfxfxxfIxx)(xf区区间间 I 上的上的图图形是凹的；若形是凹的；若， ，则则称称在在2)()()2( ,2121 21xfxfxxfIxx)(xf区区间间 I 上的上的图图形是凸的形是凸的.2）判定定理：）判定定理：在在上上连续连续，在，在上有一上有一阶阶、二、二阶导阶导数，数，则则)(xf,ba),(baa) 若若,则则在在上的上的图图形是凹的；形是凹的；0)(),( xfbax)(xf,bab) 若若,则则在在

11、上的上的图图形是凸的形是凸的.0)(),( xfbax)(xf,ba3）拐点：）拐点：设设在区在区间间 I 上上连续连续， ，是是的内点，如果曲的内点，如果曲线线经过经过)(xfy 0x)(xf)(xfy 点点时时，曲，曲线线的凹凸性改的凹凸性改变变了，了，则则称点称点为为曲曲线线的拐点的拐点.)(,(00xfx)(,(00xfx、 不等式不等式证证明明高等数学（上）期末复习要点第 6 页 共 9 页1、利用微分中利用微分中值值定理；定理；2、利用函数利用函数单调单调性；性；3、利用极利用极值值（最（最值值） ）.、 方程根的方程根的讨论讨论1、连续连续函数的介函数的介值值定理；定理；2、Ro

12、lle 定理；定理；3、函数的函数的单调单调性；性；4、极极值值、最、最值值； ；5、凹凸性凹凸性.、 渐渐近近线线1、 铅铅直直渐渐近近线线： ：， ，则则为为一条一条铅铅直直渐渐近近线线； ； )(limxf axax 2、 水平水平渐渐近近线线： ：， ，则则为为一条水平一条水平渐渐近近线线； ；bxf x )(limby 、不定不定积积分分、 概念和性概念和性质质1、原函数：在区原函数：在区间间 I 上，若函数上，若函数可可导导，且，且， ，则则称称为为)(xF)()(xfxF)(xF的一个原函数的一个原函数.)(xf2、不定不定积积分：在区分：在区间间 I 上，函数上，函数的的带带有

13、任意常数的原函数称有任意常数的原函数称为为在区在区)(xf)(xf间间 I 上的不定上的不定积积分分.3、基本基本积积分表（分表（P188， ，13 个公式）；个公式）；4、性性质质（ （线线性性）性性）.高等数学（上）期末复习要点第 7 页 共 9 页、 换换元元积积分法分法1、 第一第一类换类换元法（凑微分）：元法（凑微分）：)()(d)()(xuduufxxxf2、 第二第二类换类换元法（元法（变变量代量代换换：三角代：三角代换换、倒代、倒代换换、根式代、根式代换换等）：等）： )(1d)()()(xttttfdxxf、 分部分部积积分法：分法：（反（反对幂对幂指三，前指三，前 U 后后

14、 V） ）vduuvudv、 有理函数有理函数积积分分1、 、 “拆拆”； ；2、 、变变量代量代换换（三角代（三角代换换、倒代、倒代换换、根式代、根式代换换等）等）.、定定积积分分、 概念与性概念与性质质： ：1、定定义义： ： niiibaxfdxxf10)(lim)( 2、性性质质：（：（7 条）条）性性质质 7 （ （积积分中分中值值定理）定理） 函数函数在区在区间间上上连续连续， ，则则，使，使)(xf,ba,ba（平均（平均值值： ：） ）)()(abfdxxfbaabdxxffba )()(、 微微积积分基本公式（分基本公式（NL 公式）公式）1、变变上限上限积积分：分：设设， ，则则xadttfx)()()()(xfx 高等数学（上）期末复习要点第 8 页 共 9 页推广：推广：)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx2、NL 公式：若公式：若为为的一个原函数，的一个原函数，则则)(xF)(xf)()()(aFbFdxxfba、 换换元法和分部元法和分部积积分分1、换换元法：元法：tttfdxxfbad)()()(2、分部分部积积分法：分法： bab abavduuvudv、 反常反常积积分分1、无无穷积穷积分：分：