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1、,B2.1 描述流体运动的数学方法,拉格朗日法 欧拉法,当地法,B2 流动分析基础,描述方法,随体法,1.分类,2.比较,分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数,表达式复杂 表达式简单,不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布,不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性,拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法,例B2.1.2 由速度分布求质点轨迹,求： 在t = 0时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。,求解一阶常微分方程（a）可得,已知: 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为,(a),(b),上式中c1 ，c2 为积分常数，由t = 0时刻
2、流体质点位于 ,可确 定 ，代入(b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为,B2 流动分析基础,B2.2 速度场, 速度场是最基本的场,v = v (x, y, z, t ), 可用速度廓线（剖面）描述空间线或面上的速度分布,二维速度剖面 u u ( x, y),速度分量：,三维速度廓线,B2.2.1 流量与平均速度,封闭曲面时,流量,体积流量,平均速度,体积流量,不可压缩流体质量流量,质量流量,例B2.2.1直圆管粘性定常流动：流量与平均速度,求：两种速度分布的（1）流量Q的表达式；（2）截面上平均速度V。,解：,（1）流量由（B2.2.3）式计算，注意到dA = 2rdr，抛物线分布的流量
3、为,vn )dA =,1 / 7指数分布的流量为,vn )dA,（2）平均速度由（B2.2.4）式计算，抛物线分布和1 / 7指数分布的平均速度分别为,B2.2.2 一维，二维与三维流动,1. 流动维数的确定：,三维流动: 速度场必须表示为三个方向坐标的函数 v=v ( x, y, z, t),二维流动: 速度场简化为二个空间坐标的函数v=v ( x, y, t) 或 v=v ( r, z, t),一维流动: 速度场可表示为一个方向坐标的函数v=v( x ) 或 v=v ( s ),2. 常用的流动简化形式：,(1) 二维流动：平面流动,轴对称流动,(2) 一维流动：质点沿曲线的流动 v=v
4、( s ),流体沿管道的平均速度 v=v ( s ),用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算。但对截面上动能和动量计算造成偏差，引入动能修正因子和动量修正因子。,表B2.2.1 圆管粘性一维定常流动修正因子,3. 直圆管一维流动修正因子,例B2.2.2直圆管粘性定常流动：动能修正系数与动量修正系数,(1) 按单位质量流体的动能计算，动能修正系数定义为,解：,求：两种速度分布的（1）关于平均速度的动能修正系数 （2）关于平均速度的动量修正系数。,，,上式中V为平均速度，设=常数,截面积 A=R2，微元圆环面积 。由（B2.2.7)式， 。,对抛物线分布，由（B2.2.8a）和（B2.2.
5、9a）式可得,对1/7指数分布，由（B2.2.8b）和(B2.2.9b)式可得,（2）按单位质量流体的动量计算，动量修正系数定义为,可得,对抛物线分布,对1/7指数分布,讨论：将例B2.2.1和本例的结果合在一起列表如下：,由上可见，在直圆管粘性定常流动中，与抛物线分布相比，1/7指数分布比较接近平均速度廓线，用一维流动近似计算动能和动量时，可取=1，即不必修正。,B2 流动分析基础,a. 定常流动,b. 准定常流动,c.周期性谐波脉动流,d. 周期性非谐波脉动流（生理波）,e.非周期性脉动流(衰减波）,f.随机流动（湍流）, 不定常流与定常流的转换,迹线 流线,定义,拉格朗日法,欧拉法,（t
6、为自变量，x, y, z 为t的函数 ）,(x,y,z为t的函数，t为参数）,质点的运动轨迹,切线与速度方向一致的假想曲线,例B2.3.2A不定常流场的迹线与流线,求： （1）质点A的迹线方程；,解：此流场属无周期性的不定常流场。,由上两式分别积分可得,已知：设速度场为 u = t+1 ,v = 1，t = 0时刻流体质点A位于原点。,(1)由(B2.3.3a)式，迹线方程组为,（2）t = 0时刻过原点的流线方程；,（3）t = 1时刻质点A的运动方向。,t=0时质点A位于x=y=0，得c1=c2=0。质点A迹线方程为,消去参数t 可得,上式表明质点A的迹线是一条以（-1/2，-1）为顶点，
7、且通过原点的抛物线（图BE2.3.2A）。,（2）由(B2.3.5b)式，流线方程为,积分可得,在t = 0时刻，流线通过原点x = y = 0，可得c = 0，相应的流线方程为,可得c = -1/4 。,这是过原点的，一三象限角平分线，与质点A的迹线在原点相切（见图）。,(3)为确定t = 1时刻质点A的运动方向，需求此时刻过质点A所在位置的 流线方程。由迹线的参数式方程(a)可确定，t=1时刻质点A位于x=3/2，y=1 位置，代入流线方程(b),t = 1时刻过流体质点A所在位置的流线方程为,x = 2 y1/2 (d),上式是一条与流体质点A的迹线相切于 （3/2，1）点的斜直线，运动
8、方向为 沿该直线朝x, y值增大方向。,流体线,又称 染色线、烟线或条纹线,脉线,时间线,某时刻标记的一串相连的 质点连线,流管： 流线围成的管子,流束： 流管内的流体,缓变流流束：流线平行或接近平行,微元流束：有限截面无限小的流束,总流：微元流束的总和,在有效截面上取平均值，按一维流动处理,流体质点（随体）导数是质点物理量在运动中随时间的变化率。,右图中质点p的位置不进行变化，位置也是t的函数，物理量B(t) 可表示为,Bp = Bp xp ( t ), yp ( t ), zp ( t ), t ,(1) 用求全导数方法得质点导数欧拉表达式,(2)从物理上解释质点导数：,为当地（固定点）物
9、理量B随时间变化率，称为当地变化率，反映流场的不定常性。,为不同位置（迁移）上物理量的差异引起的变化率，称为迁移变化率，反映流场的不均匀性。,B2.4.2 加速度场,1. 三维流动,取 ，速度的质点导数为加速度,2. 一维流动,(1)沿流线s，v=v(s,t),(2)沿总流s，v=v(s,t),例B2.4.2收缩喷管流动：迁移加速度,已知：图BE2.4.2示一圆锥形收缩喷管。长为36 cm，底部与顶部直径分别为d0= 9 cm，d3 = 3 cm，恒定流量Q = 0.02 m 3 / s。按一维流动处理,解：取轴向流动方向为x轴，原点在圆锥底部。喷管内为定常流动，当地加速度为零，只有迁移加速度
10、。按一维流动(B2.4.6)式计算,求： 图示四个截面A0 ，A1 ，A2，A3上的加速度。,V为管截面上的平均速度。设任意管截面与底部 的距离为x，面积A与x的关系为,任一截面上的平均速度和加速度为,计算结果如下表,速度与加速度的变化曲线如图所示,B2.5.1亥姆霍兹速度分解定理,在xy平面流场中，M0点邻近M点的 速度在x方向的分量可分解为,1.线变形（以平面流动为例）,(1)线应变率流体面元的线尺度在x方向的局部瞬时相对伸长速率,(2)面积扩张率 流体面元的面积在平面内的局部瞬时相对扩张速率,(3)体积膨胀率 流体体元的体积在空间的局部瞬时相对膨胀速率,同理,例B2.5.2膨胀流动：线应
11、变率与面积扩张率,解：(1)按（B2.3.5a）式，因v=0, 流线微分方程为dy = 0，积分可得流线方程为,已知：设平面流场为（k 0，为常数）,说明流线是平行于x轴的直线族。线应变率为,求： （1）流线、线应变率和面积扩张率表达式；,y = c ( c为常数 ),（2） 设k=1,t=0时刻边长为1的正方形流体面abcd位于图BE2.5.2 所示位置,求t=t时刻点a(1,3)到达点a(3,3)时流体面abcd的 位置和形状。,说明x方向的线元以恒速率k伸长，y方向的线元长度保持不变。 面积扩张率为,说明流场中每一点的瞬时面积相对扩张率为常数，任何单位面积的流体面均以恒速率k扩张，通常将
12、这种流动称为膨胀流（当k 0时为收缩流）。,（2）设t = 0时，质点位于M（x, y），t = t 时位于M (x y )。按（B2.3.3a）式求质点轨迹方程,对流体面abcd和abcd 内所有质点均满足(a)，(b)式。现t相同，x/x也相同。设k =1，由点a和a，x/x = 3，即x=3x，y=y，因此M (x,y) = M (3x,y)。abcd和abcd四角点的坐标分别为a(1,3) ，b(2,3)，c(2,4)，d(1,4)，a(3,3)，b(6,3)，c(6,4) d(3,4)，abcd的位置和形状如图B2.5.2中虚线所示，说明从t=0到t=t，流体面在x方向扩张了3倍.（此流场纯属假想，很难找到与之相符的实际例子）。,2.角变形速率 两正交线元的夹角在xy平面内的局部瞬时变化速率, 涡量（三维流场）,B2.6.1 层流与湍流,2. 雷诺数,雷诺实验(1883),哈根实验(1839),林格伦实验(1957),V 流速，d 特征长度，、 流体密度、粘度,圆管临界雷诺数,管道流（不可压缩流体）,喷管流（可压缩流体）,明渠流,流体机械,内流,粘性边界层,外部势流,外流,按流场是否被固体边界包围分类,质量守恒定律,动量定律（牛顿第二定律）,能量守恒定律（热力学第一定律）,基本的物理定律,系统与控制体分析法,微分与积分分析法,量纲分析法,基本的分析方法,
