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1、第四节 重积分的应用,一、几何应用（一）立体的体积（二）曲面的面积 二、物理应用（一）质量（二）质心（三）转动惯量,一、几何应用,（一）立体的体积,1设 为以xOy面上的闭区域 D 为底以曲面,为顶的曲顶柱体，即,则 的体积,2设,则 的体积,3设 为任意空间闭区域，,则 的体积,解,由对称性可知,解一,解二,解,(三)曲面的面积,设曲面 的方程为：,设曲面 的方程为：,则曲面 的面积为：,则曲面 的面积为：,设曲面 的方程为：,则曲面 的面积为：,设曲面 的方程为：,公式推导：,解,解,二、物理应用,（一）质量,1平面薄片的质量,2空间物体的质量,（二）质心,1平面薄片的质心,2空间物体的质
2、心,均匀薄片（物体）的质心又称为该薄片（物体）所占 平面图形（空间立体）的形心,空间立体的形心坐标为：,平面图形的形心坐标为：,注,（三）转动惯量,1平面薄片的转动惯量,2空间物体的转动惯量,例6 求位于两圆,和,图形的形心.,解 利用对称性可知,而,之间的平面,故所求形心为,例7 求底半径为 R 高为 h 的均匀圆锥体的质心,解,建立如图所示的空间直角坐标系，则圆锥所占有的,空间闭区域为,其中，,由对称性，,故所求质心坐标为,解,其中：,（四）引力,1平面薄片对位于点 处的质点的引力,m为质点的质量,为薄片的面密度，,G为引力常数，,其中：,2空间物体对位于点 处的质点的引力,m为质点的质量,为物体的密度，,G为引力常数，,解,由对称性知,所求引力为,例10 求半径 R 的均匀球体,对位于点,的单位质量质点的引力.,解 利用对称性知引力分量,（其中M为球的质量）,
