老胡自动控制原理 第四版第二章数学模型福大课件

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1、自动控制原理,控制系统的数学模型,第二章,目 录,2.1 引 言2.2 运用微分方程建立数学模型2.3 线性系统的传递函数2.4 控制系统的结构图2.5 信号流图与梅森公式,自动控制系统是对工艺过程和生产设备进行自动化操作的系统，它不单纯是各种元器件的连接，从系统角度看，它是信号传递、转换和处理的过程。为此，在自动控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。因为数学模型为我们研究控制系统带来了极大的方便，它使我们避开不同系统的物理化学特性，在一般意义下研究控制系统的普遍规律。 数学模型本身又分静态模型和动态模型。在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述各变量间关系的数学方程称为静态模型

2、；在动态过程中（即变量的各阶导数不为零），各变量间的关系采用微分方程（连续系统）或差分方程（离散系统）描述。通常静态模型为动态模型在某时间点的特例，所以我们重点研究动态模型。,2.1 引言,建立数学模型的方法主要有两种，实验辨识法和理论推导法。前者是运用实验加估计的方法确定系统的数学模型，本章不讨论此方法，而后者是用支配系统或元件所依据的物理、化学定律，建立数学模型，是我们主要研究的方法。一般讲，建立的数学模型应具有简单性、准确性和通用性。在建立数学模型的过程中，根据系统的实际结构、参数及所要求的精度，找到影响系统的主要因素，忽略掉次要因素，使数学模型既反映系统的动态本质，又使计算趋于简化。所

3、以，一个较好的系统数学模型往往是在广泛的理论知识和足够的经验基础上获得的。,2.1 引言,目前，根据数学模型的结构形式，分为外部描述型和内部描述型。如果模型描述的是系统输入量与输出量之间的数学关系，则称此模型为输入 输出模型（即外部描述型），如果模型描述的是系统输入量与内部状态之间以及内部状态和输出量之间的数学关系，则称为状态空间模型（即内部描述型）。而且这两种模型在一定意义下可以相互转化。本章仅限于研究线性定常连续系统由输入与输出描述的数学模型，即系统的微分方程和传递函数。,2.1 引言,如果组成系统的元部件的输入输出特性都是线性的，并能用线性微分方程描述其输入输出关系，则称系统为线性系统。

4、大多数控制系统在一定的限制条件下，都可以用线性微分方程来描述，因此，线性系统的研究具有重要的实用价值。本节通过典型例子，说明运用微分方程建立被控对象数学模型的方法，其实质是机理建模，并由此了解常用数学模型的特点。 对于一般控制系统，无论结构多么简单或多么复杂，数学模型的建立通常都遵循以下几个步骤： （）分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。,2. 2 运用微分方程建立数学模型,（）作一些理想性的假设，以便忽略次要因素，使问题简化。 （）根据支配系统动态特性的基本定律，列出各部分方程式（一般从系统输入端开始，依次列写组成系统各部分的运动方程式，同时

5、要考虑相邻元件间的负载效应），列写的方程数目应与所设的变量（除输入外）数目相同。 （）联立方程，消去中间变量，最终得到只含输入量和输出量的方程式。 （）将方程式化成标准型。所谓标准型是将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在左边，各导数项按降阶排列。如有必要，可将各项导数化成有物理意义的形式。,2.2.1 电路系统电路系统的基本要素是电阻、电容和电感，而建立数学模型的基本定律是基尔霍夫电流定律，即流入和流出节点的所有电流的代数和等于零；以及基尔霍夫电压定律，即在任何瞬间，电路中任意环路的电压代数和等于零。以下举例说明电路系统方程的建立。,2. 2 运用微分方程建立数学模型,例

6、2-1 如图21所示，为一个RLC串联电路，试求该系统的数学模型。解 按照列写微分方程的一般步骤，设输入量为 ，输出量为 ，中间变量为 ，忽略输出端负载效应后，根据基尔霍夫定律得（2-1）（2-2）消去中间变量i(t)，得系统的微分方程为（2-3）令 ， ，方程整理成标准形（2-4）,图21 RLC电路,式（2-4）为图2-1所示RLC串联网络的数学模型，它是一个 线性定常二阶微分方程。,2.2.2 机械系统组成机械运动系统的基本元件是质量、弹簧和阻尼器， 而支配机械系统的基本定律是牛顿运动定律和力矩平衡定律。,例2-2 图22所示为弹簧、质量、阻尼器机械平移系统，求其数学模型。解 阻尼器是产

7、生粘性摩擦或阻尼力的装置，阻尼力的大小与运动速度成正比，与阻尼系数成正比。设系统的输入量为外力 ，输出量为质量的位移 ，根据牛顿定律得力平衡方程式（2-5）,式中： 为质量力， 为阻尼力， 为弹性力，它们分别为， ， 将以上三式带入式（2-5）后得式中m为质量，f为阻尼系数，k为弹性系数。令 ， ， 得（2-6）显然，图2-2机械平移系统也是一个线性定常二阶微分方程。,在工业生产过程中，还会遇到许多机电、热工和化工对象等，这些系统都可以通过其物理、化学机理建立数学模型。例2-3 图2-3为一直流电动机控制系统，求其数学模型。解 设电动机电枢电压 为输入量，电动机角速度 为输出量，则电枢电路方程

8、为（2-7）式中：L、R分别为电枢绕组总电阻和总电感；i是电枢回路电流；E为绕组切割磁力线时产生的感应反电势，E的大小与激磁磁通和转速成正比，方向与电枢电压 相反。由于激磁磁通不变，所以E仅与转速成正比，即,2.2.3 其他系统,（2-8） 式中为 反电势系数。在理想空载下，电动机轴上转矩平衡式为（2-9）式中J为电动机轴上的转动惯量，M为电枢电流产生的电磁转矩，且电磁转矩M与电枢电流 成正比，即（2-10） 式中 为电动机转矩系数。将上述四式联立消去中间变量i、E、M，得电动机在电枢电压控制下直流电动机的数学模型为（2-11）,令为 电磁时间常数； 为机电时间常数； 为静态增益，得（2-12

9、） 显然式（2-12）也是线性定常二阶微分方程。在工程应用中，由于电枢电路电感L很小，可以忽略不记，式（2-12）可简化为一阶微分方程，即（2-13） 如果电枢回路电阻R和电动机转动惯量J都很小，可以忽略不记时，（2-12）进一步简化为 （2-14）,这时电动机的转速 和电枢电压 成正比。于是，电动机可作为测速发电机使用。,例2-4 图2-4 所示为串联液位控制系统，求输入量为 输出量为 的系统数学模型。解 为液体流入量； 与 为液体流出量； 与 分别为两个水箱的液位高度； 与 分别为两个阀门的阻力，根据物料平衡方程，得，式中 为第一个水槽的截面积； 为第二个水槽的截面积。根据液位与阀门阻力之

10、间的近似线性关系，得，,联合上述方程，消去中间变量， 、 、 ，得进一步整理，得水槽液位控制系统的数学表达式为（2-15）式中 ， 分别为第一、第二水槽时间常数；为串联槽相关时间常数； 是静态放大倍数。例2-5 图2-5 为电磁阀液位控制系统，求输入量为，输出量为水槽水位的系统数学模型。,解 若忽略线圈反电势，得电压回路方程式为（2-16） 其中 为线圈电感； 为 回路电流； 为电阻。设阀铁产生的电磁力为 ，它与回路电流 成正比，即（2-17）由牛顿力学定律得阀门铁心位移X的运动方程为 （2-18）式（218）中 为阀门铁心质量， 为阀弹簧刚性系数。 再由物料平衡定律可得水槽液位方程为（2-1

11、9）,式（219）中 为水槽截面积； 为液体流入量； 为液体流出量。 将 ， ，带入式（219）得（220） 式（220）中的 为阀门2的阻力系数； 为流量放大倍数。将方程（216）、（217）、（218）、（220） 联立，消去中间变量i 、FL、X ，得电磁阀的液位控制系统的数学模型为（221）,通过以上实例可以看到，在特定条件下，线性控制系统的输入量与输出量之间的数学表达式可以用一个线性常系数微分方程来表述，并且具有以下特点： 不同系统的物理、化学过程不同，系统的结果形式不同，但其数学模型的推导过程和建立的数学模型却很相似。 工程上, 微分方程的阶次只与系统中的储能元件的个数和要求的精确

12、度有关，方程中的系数是与系统的结构和参数有关的常数，并具有一定的物理意义。 根据上述系统建立的微分方程，都是按线性系统理论进行的，然而实际的系统或元件都具有不同程度的非线性。所以，在一定条件下，非线性系统（或元部件）可近似作为线性系统进行分析。而本质非线性将在第八章中介绍。,2.2.4 线性系统微分方程的通用形式对于一般线性系统，描述其动态方程的标准形式为（222） 式中 、 分别为系统的输入量和输出量，（i= 1,2,. n）（j= 1,2, m）， 为系数， 为输出信号的最高求导次数，为输入信号的最高求导次数。若 、 均为常数，式（222）为常系数线性微分方程，所描述的系统为定常系统。,若

13、 、 是时间的函数（或其中之一是时间的函数）时，所描述的系统为线性时变系统。 对于线性定常系统，用 除式（222）两边，得（223）令 ， ， ， ， ， 。,式（223）变为（224） 式中，T1、T2、，Tn 称为系统的时间常数，其物理意义是反映系统惯性的大小。K0 称为系统的传递系数，又称为静态放大系数。,线性定常微分方程的解,解线性定常微分方程的方法：,例2-6：例2-1的电路参数如图，在零时刻，开关拨到信号源 ，求此后电容电压的变化规律。,经典法（微积分方法）,拉氏变换法（Laplace）,计算机数值解法,解：由例2-1其微分方程为,将参数代入，得,对等式两边取拉氏变换，得,初始条件：,导数的拉氏变换：,常见信号的拉氏变换 单位脉冲函数: 单位阶跃函数: 单位斜坡函数： 正弦函数： 余弦函数：指数函数：,整理后可得,拉氏反变换，得,外加输入的响应 初始激励的响应,拉氏变换法解微分方程的步骤：,1）对微分方程中的每一项取拉氏变换（要考虑初始条件）。,2）由代数方程解出输出量的拉氏变换表达式。,结果：得到一组包含拉氏算子 的代数方程。,3）求输出量的拉氏反变换，即得到所求结果。,2-2-5 非线性数学模型的线性化,电机励磁特性,工作原理,数学模型： U（t）=f(iF(t),非线性,。改变励磁来改变电压,。受扰动时电压在A附近波动,