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1、- 1 -中中考数学冲刺考数学冲刺复习复习资料资料:二次函数压轴题二次函数压轴题面积类面积类1如图，已知抛物线经过点如图，已知抛物线经过点 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点）三点（1）求抛物线的解析式）求抛物线的解析式（2）点）点 M 是线段是线段 BC 上的点（不与上的点（不与 B，C 重合）重合） ，过，过 M 作作 MNy 轴交抛物线于轴交抛物线于 N，若点，若点M 的横坐标为的横坐标为 m，请用，请用 m 的代数式表示的代数式表示 MN 的长的长（3）在（）在（2）的条件下，连接）的条件下，连接 NB、NC，是否存在，是否存在 m，使，使BNC 的面积最大？若存在，求的
2、面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由的值；若不存在，说明理由解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x3） ，则：a（0+1） （03）=3，a=1；抛物线的解析式：y=（x+1） （x3）=x2+2x+3（2）设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线 BC 的解析式：y=x+3已知点 M 的横坐标为 m，MNy，则 M（m，m+3） 、N（m，m2+2m+3） ；故 MN=m2+2m+3（m+3）=m2+3m（0m3） （3）如图；SBNC=SMNC+SMNB=MN（OD+DB）=MNOB，SBNC=（m2+3m）3=（m）2+（0m3） ；当
3、 m=时，BNC 的面积最大，最大值为- 2 -2如图，抛物线如图，抛物线的图象与的图象与 x 轴交于轴交于 A、B 两点，与两点，与 y 轴交于轴交于C 点，已知点，已知 B 点坐标为（点坐标为（4，0） （1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2）试探究）试探究ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点）若点 M 是线段是线段 BC 下方的抛物线上一点，求下方的抛物线上一点，求MBC 的面积的最大值，并求出此时的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标点的坐标解答：解：（1）将 B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a42，即：a=
4、；抛物线的解析式为：y=x2x2（2）由（1）的函数解析式可求得：A（1，0） 、C（0，2） ；OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OAOB，又：OCAB，OACOCB，得：OCA=OBC；ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90，ABC 为直角三角形，AB 为ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为 AB 的中点，且坐标为：（，0） （3）已求得：B（4，0） 、C（0，2） ，可得直线 BC 的解析式为：y=x2；设直线 lBC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线 l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2x2，即： x22x2b=0，且=0；44（2b）=
5、0，即 b=4；直线 l：y=x4所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有：- 3 -，解得：即 M（2，3） 过 M 点作 MNx 轴于 N，SBMC=S梯形 OCMN+SMNBSOCB=2（2+3）+2324=4平行四边形类平行四边形类3如图，在如图，在平面直角坐标平面直角坐标系中，抛物线系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点经过点 A（3，0） 、B（0，3） ，点，点 P是直线是直线 AB 上的动点，过点上的动点，过点 P 作作 x 轴的垂线交抛物线于点轴的垂线交抛物线于点 M，设点，设点 P 的横坐标为的横坐标为 t（1）分别求出直线）分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式
6、和这条抛物线的解析式（2）若点）若点 P 在第四象限，连接在第四象限，连接 AM、BM，当线段，当线段 PM 最长时，求最长时，求ABM 的面积的面积（3）是否存在这样的点）是否存在这样的点 P，使得以点，使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由的横坐标；若不存在，请说明理由（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把 A（3，0）B（0，3）分别代入y=x2+mx+n 与 y=kx+b，得到关于 m、n 的两个方程组，解方程组即可；（2）设点 P 的坐标是（t，t3） ，则
7、M（t，t22t3） ，用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标得到 PM 的长，即 PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，然后根据二次函数的最值得到- 4 -当 t=时，PM 最长为=，再利用三角形的面积公式利用 SABM=SBPM+SAPM计算即可；（3）由 PMOB，根据平行四边形的判定得到当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能；当 P 在第一象限：PM=OB=3， （t22t3）（t3）=3；当 P 在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t
8、的值解答：解：（1）把 A（3，0）B（0，3）代入 y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是 y=x22x3设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，把 A（3，0）B（0，3）代入 y=kx+b，得，解得，所以直线 AB 的解析式是 y=x3；（2）设点 P 的坐标是（t，t3） ，则 M（t，t22t3） ，因为 p 在第四象限，所以 PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，当 t=时，二次函数的最大值，即 PM 最长值为=，则 SABM=SBPM+SAPM=（3）存在，理由如下：PMOB，当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，当 P 在第四象限：P
9、M=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能有 PM=3当 P 在第一象限：PM=OB=3， （t22t3）（t3）=3，解得t1=，t2=（舍去） ，所以 P 点的横坐标是；当 P 在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，解得 t1=（舍去） ，t2=，所以 P点的横坐标是所以 P 点的横坐标是或- 5 -4如图，在平面如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A（0，1） ，B（2，0） ，O（0，0） ，将此三角板绕原点，将此三角板绕原点 O 逆时针旋转逆时针旋转 90，得到，得到ABO（1）一抛物线经过点）一抛物线经过点 A、B、B，求该
10、抛物线的解析式；，求该抛物线的解析式；（2）设点）设点 P 是在第一象是在第一象限内抛物线上限内抛物线上的一动点，是否存在点的一动点，是否存在点 P，使四边形，使四边形 PBAB 的面积的面积是是ABO 面积面积 4 倍？若存在，请求出倍？若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（）在（2）的条件下，试指出四边形）的条件下，试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形？并写出四边形是哪种形状的四边形？并写出四边形PBAB 的两条性质的两条性质解：（1）ABO 是由ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90得到的，又 A（0，1） ，B（2，0） ，O（0，0
11、） ，A（1，0） ，B（0，2） 方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a0） ，抛物线经过点 A、B、B，解得：，满足条件的抛物线的解析式为 y=x2+x+2方法二：A（1，0） ，B（0，2） ，B（2，0） ，设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x2）将 B（0，2）代入得出：2=a（0+1） （02） ，解得：a=1，故满足条件的抛物线的解析式为 y=（x+1） （x2）=x2+x+2；（2）P 为第一象限内抛物线上的一动点，设 P（x，y） ，则 x0，y0，P 点坐标满足 y=x2+x+2- 6 -连接 PB，PO，PB，S四边形 PBAB=SBOA+SPBO+S
12、POB，=12+2x+2y，=x+（x2+x+2）+1，=x2+2x+3AO=1，BO=2，ABO 面积为：12=1，假设四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍，则4=x2+2x+3，即 x22x+1=0，解得：x1=x2=1，此时 y=12+1+2=2，即 P（1，2） 存在点 P（1，2） ，使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍 （3）四边形 PBAB 为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意 2 个均可等腰梯形同一底上的两个内角相等；等腰梯形对角线相等；等腰梯形上底与下底平行；等腰梯形两腰相等（10 分）或用符号表示：BAB=PBA或ABP=BPB；PA=BB；B
13、PAB；BA=PB5如图，抛物线如图，抛物线 y=x22x+c 的顶点的顶点 A 在直线在直线 l：y=x5 上上（1）求抛物线顶点）求抛物线顶点 A 的坐标；的坐标；（2）设抛物线与）设抛物线与 y 轴交于点轴交于点 B，与，与 x 轴交于点轴交于点 C、D（C 点在点在 D 点的左侧）点的左侧） ，试判断，试判断ABD 的形状；的形状；（3）在直线）在直线 l 上是否存在一点上是否存在一点 P，使以点，使以点 P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 P 的坐标；的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由- 7 -解：（1）顶点
14、A 的横坐标为 x=1，且顶点 A 在 y=x5 上，当 x=1 时，y=15=4，A（1，4） （2）ABD 是直角三角形将 A（1，4）代入 y=x22x+c，可得，12+c=4，c=3，y=x22x3，B（0，3）当 y=0 时，x22x3=0，x1=1，x2=3C（1，0） ，D（3，0） ，BD2=OB2+OD2=18，AB2=（43）2+12=2，AD2=（31）2+42=20，BD2+AB2=AD2，ABD=90，即ABD 是直角三角形（3）存在由题意知：直线 y=x5 交 y 轴于点 E（0，5） ，交 x 轴于点 F（5，0）OE=OF=5，又OB=OD=3OEF 与OBD
15、都是等腰直角三角形BDl，即 PABD则构成平行四边形只能是 PADB 或 PABD，如图，过点 P 作 y 轴的垂线，过点 A 作 x 轴的垂线交过 P 且平行于 x 轴的直线于点 G设 P（x1，x15） ，则 G（1，x15）则 PG=|1x1|，AG=|5x14|=|1x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1x1）2+（1x1）2=18，x122x18=0，x1=2 或 4P（2，7）或 P（4，1） ，存在点 P（2，7）或 P（4，1）使以点 A、B、D、P 为顶点的四边形是平行四边形- 8 -周长类周长类6如图，如图，RtABO 的两直角边的两直角边 OA、OB 分别在分别在 x 轴的负半轴和轴的负半轴和 y 轴的正
