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1、1,第四章变形体静力学基础,2,4.6 一点的应力和应变,4.7 变形体静力学分析,4.1 变形固体的力学分析方法,4.2 基本假设,4.3 内力、截面法,4.4 杆件的基本变形,4.5 杆的轴向拉伸和压缩,第四章 变形体静力学基础,返回主目录,4.8 应力集中的概念,3,前一章，将物体视为刚体，讨论其平衡。 事实上，总有变形发生，还可能破坏。 本章讨论的研究对象是变形体。属于固体力学的范畴。不再接受刚体假设。,以变形体为研究对象的固体力学研究基本方法, 包括下述三个方面的研究：1) 力和平衡条件的研究。2) 变形几何协调条件的研究。3) 力与变形之关系的研究。先以一个例子说明方法。,第四章
2、变形体静力学基础,4.1 变形固体的力学分析方法,返回主目录,4,例1 AC为刚性梁，二个弹簧的弹性常数为 k。试求 平衡时各弹簧所受之力。,5,3) 再考虑 ，对于弹簧有：NB=kB; 及 NC=kC; 综合考虑问题的平衡条件、几何关系、物理关系后，得到5个方程，可求出 YA、NB、 NC、 B和C等全部5个未知量。,力与变形间的物理关系,解得： YA=P/10； NB=3P/10； NC=6P/10；弹簧变形为； B=3P/10k ；C=6P/10k,2a,a,a,A,B,P,C,6,例2 长2L的木板由两个弹性常数为k、自由长度为h的拉压弹簧支承。若有一人从板中央向一端缓慢行走，试求板与
3、地面刚刚接触时，人所走过的距离x。,解：设人重为W，板重不计讨论板与地面刚接触 的临界状态，板受力如图。,1) 力的平衡条件：由平衡方程有：Fy=FB-FA-W=0 MA(F)=2aFB-(x+a)W=0,2个平衡方程，3个未知量：x、FA、FB，不可解。需考虑变形。板可作刚体处理，只考虑弹簧的变形。,7,弹簧A、B的变形为A=hA-h (受拉伸长) -(4) 及 B=h-hB (受压缩短) -(5),2) 变形几何协调条件：刚性板保持为直板， 二弹簧变形后应满足的 几何条件是：,3) 力与变形间的物理关系：对于弹簧，力与变形间的关系为：FA=kA -(6)及 FB=kB -(7),hB/hA
4、=(L-a)/(L+a) (x0) -(3),8,综合考虑平衡条件、 变形几何关系、物理关系 后，得到7个方程，可求 出FA、FB、A、B、hA、hB、x 等全部未知量。,将x代入平衡方程，即可求得FA、FB。,9,研究重点是变形体的内力、变形及力与变形之关系。,研究变形体力学问题的主线是：,力的平衡,返回主目录,10,固体力学的研究对象是可变形固体。变形与材料有关。为研究方便，采用下述假设：,4.2 基本假设,返回主目录,11,3) 小变形假设,相对于其原有尺寸而言，变形 后尺寸改变的影响可以忽略不计。在分析力的平衡时用原来的几何尺寸计算而不引入大的误差。,上述假设，建立了一个最简单的可变形
5、固体的理想化模型。随着研究的深入，再逐步放松上述假设的限制。 如在后续课程中逐步讨论各向异性问题，大变形问题，含缺陷或裂隙等不连续介质的问题等等。,返回主目录,12,物体内部某一部分与相邻部分间的相互作用力。必须截开物体，内力才能显示。,内力分布在截面上。向截面形心简化，内力一般可表示为6个，由平衡方程确定。,处于平衡状态的物体，其任一部分也必然处于平衡状态。,1.内力:,沿C截面将物体截开，A部分在 外力作用下能保持平衡，是因为受 到B部分的约束。B限制了A部分物体在空间中相对于 B的任何运动(截面有3个反力、3个反力偶)。,B,A,4.3 内力、截面法,返回主目录,13,若外力在同一平面内
6、，截面内力只有3个分量，即:,轴力 FN 作用于截面法向。剪力 FS 作用于截面切向。弯矩 M 使物体发生弯曲。,若外力在轴线上,内力只有轴力。,14,2. 截面法,无论以截面左端或右端为研究对象，都应得到相同的截面内力。因为，两部分上作用的内力互为作用力与反作用力。适当的符号规定可保证其一致性。,用假想截面将物体截开，揭示并由平衡方程确定截面上内力的方法。截面法求解内力的步骤为：,求约束反力,注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前，力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。,15,例2 求图中1、2、3截面内力。,解：1）求约束反力：由整体有 FBx=F/2；FAy=F；FAx=-F/2
7、,截面2：FN2=FACcos45=F；FS2=FACsin45=FM2=FACcos45x=Fx,截面3：FN3=0；FS3=-FBx-FCD=F/2；M3=-FBx(a+y)-FCDy=F (y-a)/2,16,例3 作图示拉压杆的内力图。,2）求各截面内力(轴力)。截面法、平衡方程,3）画内力图。,解：1）求约束反力。 FA=8+2-5=5 kN,17,例4 截面积为A的等直杆，密度为，求杆在自重作用下的内力。,解：考虑任一距O点为x的横截面上的内力，受力如图。重力为W=gAx, 由平衡方程得：FN=W=gAx,绘出轴力图，可见：A截面处内力F N(= gAL)最大。,18,2. 柱截面
8、 内力？,1. 截面1内力？,3. 作内力图。,问 题 讨 论,返回主目录,19,杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。,最一般情况：,截面内力有6个分量。,轴向拉压内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。 扭转 内力为扭矩。如各种传动轴等。 (轴) 弯曲 内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁),基本变形,4.4 杆件的基本变形,返回主目录,20,A3A1=A2；L1L2=L3；,得到最简单的物理关系胡克定律： =E 注意：-关系与试件几何（L、A）无关。,先考查杆承受轴向拉伸时力与变形之关系。,4.5 杆的轴向拉伸和压缩,返回主目录,21,是材料的一种应力应
9、变关系模型，称为线性弹性应力应变（物理）关系模型。,轴向拉压杆的应力、应变和变形L可表达为：,EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。,=E,22,2)求各段应力： AB=FNAB/A1=40103N/(32010-6)m2 =125106Pa=125MPa BC=FNBC/A2=40103/(80010-6) =50MPa； CD=FNCD/A2=48103/(80010-6)= 60MPa,解：1)求内力(轴力)，,例4.7 杆AB段为钢制，横截面积A1=320mm2， BD段为铜，A2=800mm2， E钢=210GPa；E铜=100GPa；l=400mm。求杆各段的应力、应变和总伸
10、长量AD。,画轴力图。,23,4)杆的总伸长为： lAD=lAB+lBC+lCD=0.68mm,2)求各段应变： eAB=sAB/E钢=125/(210103)0.610-3,3)求各段伸长： 注意: l=el=sl/E=FNl/AElAB=eABlAB=0.610-3400mm=0.24mm,lBC=eBClBC=0.2mm； lCD=eCDlCD=0.24mm,eBC=sBC/E铜=50/(100103)=0.510-3 eCD=sCD/E铜=0.610-3,24,讨论：杆 受力如图。BC段截面积为A ，AB段截面积为2A，材料弹性模量为E。欲使截面D位移为零，F2应为多大？,解：画轴力图
11、。,有： D=lAD=lAB+lBD=FNABl /E(2A)+FNBDl /EA,注意： 固定端A处位移为零。,25,请认真思考、讨论思考题。（不做在本上） 习题: 4.1(a)、(d)、(f)4.2(b); 4-5。,返回主目录,作业: P104-106,26,前节回顾：,研究变形体力学问题的主线是：,求约束反力,返回主目录,27,EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。,FN 、L、E、A改变，则须分段计算。,28,一、 应力内力连续分布在截面上，截面法确定的是内力的合力。,T是矢量，法向分量 称正应力；切向分量 称切应力。,29,注意：一般情况下， 内力非均匀分布， 截面各点应力不
12、同。,2) 轴向拉压杆横截面上的应力：,截面上只有轴力，故应力为正应力。 变形沿轴向是均匀的，故在横截面上均匀分布，,因为 s=const. 故有：,30,3) 一点的应力状态：,单向拉压杆横截面上只有正应力。 故 A点的应力状态可用由横截面、水平面截取的微小单元体上的应力描述。是单向应力状态。,一点的应力状态用围绕该点截取的 微小单元体上的应力来描述。单元体尺 寸微小，各面上的应力可认为是均匀的。,由定义有： 故可知， 一点的应力与过该点之截面的取向有关。,31,设s已知，A点在法向与轴线夹角之截面上应力为、，,斜截面上的应力：,Fx=(dx/sin)1cos,注意式中各项是力的投影分量。,
13、由单位厚度微元力的平衡条件可得：,+(dx/sin)1sin -(dx/tan)1=0,Fy=(dx/sin)1sin-(dx/sin)1cos=0,cosa,32,=0时，=， =0， 横截面上正应力最大；,求得A点在与轴线夹角为之截面上的应力为: =(1+cos2)/2； =sin2/2,如：铸铁试样受压时， =45斜截面上的应力和为：=-/2; =-/2铸铁抗压能力远大于抗剪或抗拉能力，故实验时先发生与轴线大约成45，剪切破坏。,可见：拉压杆斜截面上有正应力和切应力。,=45时，=/2， =/2，45斜截面上切应力最大，且max=/2。,33,对于单向拉、压杆，任一点 A的应力状态为：,
14、只要确定了一种单元体取向时各微面上的应力， 即可求得该点在其他任意取向之截面上的应力。,结论：1) 应力是矢量。 2) 一点的应力与过该点的截面取向有关。 3) 可以用微小单元体各面上的应力描述一 点的应力状态。,34,变形：物体受力后几何形状或尺寸的改变。用应变表示，如拉压杆（应变=l/l0），与几何尺寸无关。,一点的应变可由考查该点附近小单元体的变形而定义。变形包括单元体尺寸和形状二种改变。,线应变、切应变 分别与s、t 的作用相对应。,二、 应变,返回主目录,35,再论利用力的平衡、变形几 何协调及力与变形间的关系， 分析变形体静力学问题的基本方法。,例4.9 图中BD杆直径d=25mm，CD杆为3080mm矩 形截面，弹性模量E=200GPa，求D点的位移。,4.7 变形体静力学分析,返回主目录,36,由力与变形间的物理关系知各杆变形为：lBD=FNBDlBD/E(d2/4)=1.34410-3 m lCD=FNCDlCD/EACD=-0.137510-3 m,故变形后D点的位移为：水平位移：u=DD2=lCD=0.137 mm ()垂直位移：v=D2H+HD=DD1/cosa+DD2=lBD+lCD =2.038 mm (),3)变形几何协调条件：(求位移),
