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1、第七节 一阶常系数线性差分方程,一阶常系数齐次线性差分方程的求解,一阶常系数非齐次线性差分方程的求解,思考题,小结,内容回顾,第十章 微分方程与差分方程,2/34,1. 差分的定义2. 差分方程与差分方程的阶3. 差分方程的解、初始条件和通解、特解4. 常系数线性差分方程解的结构,内容回顾,3/34,一阶常系数线性差分方程的求解,4/34,一、 一阶常系数齐次线性差分方程的求解,这是等比数列所满足的关系式,由等比数列通项公式,5/34,解:,故原方程的通解为,其中C为任意常数.,6/34,2. 特征根法,设,代入方程得：,得,故,是齐次方程的一个解，,从而,是齐次方程的通解,C为任意常数.,(
2、是齐次方程的特征方程),(特征根),7/34,解:,故,原方程的通解为,由初始条件,得C=2.,所以,即为所求特解.,特征方程是,8/34,练习,解:,特征方程是,9/34,二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解,由上节定理3知道, 差分方程(2)的通解应由对应齐次差分方程的通解(前面已学过)和非齐次差分方程的特解两部分组成. 我们只学习后部分.,求解方程非齐次方程的特解, 常用的方法是待定系数法, 以下对常见的类型, 分别介绍特解的求解方法,10/34,1.,型,11/34,(1) 先求相应的齐次方程,解:,的通解：,代入原方程得：,特征方程是,通解：,12/34,解,对应齐次方程通解,(1
3、)特征方程,特征根,代入方程, 得,（3）原方程通解为,例4,13/34,所以原方程满足初始条件的特解为,通解为,所以,代入方程得,所以,（4）由,14/34,解:,15/34,解:,16/34,(1) 当0、1 时, 即类型1.,可化为类型1.,17/34,通解为, 得原方程的特解为, 原方程化为,化为类型1了,18/34,通解为, 原方程化为, 得原方程的特解为,特征方程,特征根,19/34,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例8,20/34,21/34,22/34,(1),3.,23/34,(2),24/34,25/34,26/34,解,27/34,解:,C为任意常数.,28/34,求解非齐次线性方程的通解,除了利用线性方程解的结构定理,通过分别求出对应齐次方程通解和非齐次方程一个特解的方法实现外,还可以直接用迭代法计算,将方程改写成迭代方程形式来求解.,有递推形式为：,29/34,由数学归纳法可证：,30/34,解:,31/34,思考题,解:,32/34,一、 一阶常系数齐次线性差分方程的求解,小结,二、非齐次方程的求解,关键是求非齐次特解, 本节求特解要求掌 握待定系数法：,33/34,(1) 当0、1 时, 即类型1.,可化为类型1.,作 业,P419 ex 1, 2, 3(偶), 4(奇),预习： 第八节,第十章 微分方程与差分方程,
