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1、信号与系统（信息工程）,第六章 Z变换,6.1 Z变换,6.2 Z的性质,6.3 Z反变换,6.3 Z变换与拉普拉斯变换,信号与系统（信息工程）,6.1 Z变换,1、从拉普拉斯变换到Z变换,对连续信号x(t)进行理想抽样，即x(t)乘以单位冲激序列T(t)， T为抽样间隔，得到抽样信号为,6.1.1 Z变换的定义,信号与系统（信息工程）,令z=esT ，Xs(s)变为X(z)，得,对xs(t)取双边拉普拉斯变换：,取T=1，得,双边Z变换,信号与系统（信息工程）,单边Z变换,当0n时，得单边Z变换,2、从离散时间序列直接定义,设x(n)为离散序列，x(n)=x(0)，x(1)， x(n) ，则
2、x(n)的单边Z变换定义为：,双边Z变换定义为：,信号与系统（信息工程）,例： 已知x(n)=u(n)求其Z变换表达式。 解：,由等比数列求和的性质可知，上式的级数在 |z-1|1时是发散的，只有在|z-1|1时才收敛。这时无 穷级数可以用封闭形式表示为,信号与系统（信息工程）,6.1.2 Z变换的收敛域,对于任意给定的有界序列x(n)，使其Z变换式收敛的所有z值的集合，称为Z变换X(z)的收敛域。,X(z)存在或级数收敛的充分条件是幂级数满足绝对可和,因为,信号与系统（信息工程）,为满足上述绝对可和的条件，就必须要对|z|有一定范围的限制。这个范围一般可表示为由此可见Z变换的收敛域为z平面上
3、是一个以Rx-及Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域。,信号与系统（信息工程）,根据离散序列x(n)的特性讨论X(z)的收敛域：,1、x(n)为有限长序列,(1) n10,n20时，有,信号与系统（信息工程）,上式中除了第一项的z=处及第二项中的z=0处 外都收敛，所以总收敛域为0|z|。有时将这个 开域(0,)称为“有限z平面”。,(2)n10,n20时，有显然其收敛域为0|z|，是包括零点的半开域，即除z=外都收敛。 (3)n10,n20时，有显然其收敛域为0|z|，是包括z=的半开域，即除z=0外都收敛。,信号与系统（信息工程）,(4)特殊情况，n1=n2=0时，这就是序列 ， 它的收敛
4、域为整个闭域z平面，即0|z|。,信号与系统（信息工程）,例：已知有限长序列x(n)=u(n+1)-u(n-1)。求x(n)的双边Z变换及其收敛域。,解：,所以，当 时，上式级数收敛。于是得,信号与系统（信息工程）,2、x(n)为右边序列,Z变换为,(1) n10时，这时的右边序列就是因果序列。,因此，n10时的右边序列的收敛域可以写成 |R1|z|（ |R1| = |z1| ）,信号与系统（信息工程）,例：求指数序列x(n)=anu(n)的Z变换。 解：显然指数序列是一个因果序列,( )2,信号与系统（信息工程）,3、x(n)为左边序列,当n10时，剔除z=0点，收敛域为0|z|R1 第二项
5、为左边序列：收敛域|z|R2 两者的公共收敛域R1|z|R2为X(z)的收敛域；若R2|a|。求x(k)的双边Z变换及其收敛域。,解 x(n)的双边Z变换为,信号与系统（信息工程）,|a|z|1,信号与系统（信息工程）,|z|a|,(6),|z|1,|z|3,1|z|3,由线性性质得,信号与系统（信息工程）,2. 位移(时移)性,式中，m为正整数,(1)双边Z变换,信号与系统（信息工程）,根据双边Z变换的定义，则有,令 k=n+m, 则有,证明：,信号与系统（信息工程）,例：已知x(n)=3nu(n+1)-u(n-2)，求x(n)的双边Z变换及其收敛域。,解 x(n)可以表示为,信号与系统（信
6、息工程）,根据位移性质，得,根据线性性质，得,信号与系统（信息工程）,(2)单边Z变换,若x(n)为单边序列：,信号与系统（信息工程）,例：求信号x(n)=u(n+1)的Z变换及其收敛域。 解： 因为u(n) 利用Z变换的移序特性，有 ，因为u(n)是一个因果序列，而u(n+1)是非因果序列，所以它的收敛域在无穷远处发生了变化，即删除原有的无穷远点，u(n+1)的Z变换的收敛域为1|z|。,信号与系统（信息工程）,式中， m为正整数。,若x(n) X(z)，|z|a|,信号与系统（信息工程）,重复应用位移性质和Z域微分性质，可得如下重要变换对：,于是得,信号与系统（信息工程）,若x(k) X(
7、z)， 则有,式中， m为整数，m+n0。 若m=0，n0, 则有,4. 序列除(n+m)(Z域积分),信号与系统（信息工程）,证明： 由双边Z变换的定义,对上式两端除zm+1，然后从z到积分，得,为了避免积分变量与积分限的混淆， 把积分变量z用代替，并交换积分、求和次序，得,信号与系统（信息工程）,因为n+m0，故上式为,上式两端乘以zm，得,即,信号与系统（信息工程）,例 ：,已知,，求x(n)的双边Z变换X(z)。,解： 由于,又因为m=1，利用z域积分特性则,信号与系统（信息工程）,例 ：,已知,，求x(n)的双边Z变换X(z)。,解： 由于,|z|2,根据Z域积分性质式， 则有,|z
8、|2,信号与系统（信息工程）,式中，a为常数（实数、虚数、复数），,证明： 根据双边Z变换的定义，则有,5. 序列乘an(Z域尺度变换/序列指数加权),信号与系统（信息工程）,若a=-1 , 则有,信号与系统（信息工程）,例 ： 已知,求x(n)的双边Z变换及其收敛域。,解： 令x1(n)=3n+1u(n+1)，则有,由于,3|z|,信号与系统（信息工程）,根据时域乘 an 性质，得,信号与系统（信息工程）,若x(n) X(z)，Rx1|z|Rx2，则有 证 根据双边Z变换的定义，则有,6. 时间反转,令m= -n，则上式为,信号与系统（信息工程）,令z1=z-1，则,由于X(z)的收敛域为R
9、x1|z|Rx2 ，所以X(z-1)的收敛域为,信号与系统（信息工程）,例 ：,已知x(n)=2-n-1u(-n-1)，求x(n)的双边Z变换X(z)。,解 由于,根据时间反转性质,根据位移性质，则有,信号与系统（信息工程）,于是得,信号与系统（信息工程）,7. 初值定理,若nN(N为整数)时，x(n)=0，并且,|z|,证明： 根据双边Z变换的定义,信号与系统（信息工程）,两端乘以zN，得,取 z 的极限，得,若x(n)为单边序列，则N=0,得,信号与系统（信息工程）,例： 已知 ，求初值y(0)。解：,信号与系统（信息工程）,若n1,并且X1(z)在z= -1处有极点，所以 在单位圆上不收
10、敛，x1()不存在，终值定理不适用。若根据终值定理求x1()，则有,信号与系统（信息工程）,(2) 求x2()。,由于,X2(z)在z=1有一阶极点， 的极点为 ， 收敛域为 。因此，根据终值定理得,信号与系统（信息工程）,9. 时域卷积定理,则,注意：若位于某一Z变换收敛域边缘上的极点被另一Z变换得零点抵消，收敛域将会扩大。,信号与系统（信息工程）,10. Z域卷积定理,则,注意：c1和c2分别为X、H的收敛域重叠部分内的逆时针围线。,信号与系统（信息工程）,11. 帕色伐尔定理,设x(n) , h(n)为复序列,傅里叶变换能量等式：,信号与系统（信息工程）,6.3 Z 反变换,Z反变换的方
11、法：,幂级数展开法（长除法）,部分分式展开法,围线积分法,信号与系统（信息工程）,一、幂级数展开法（长除法）,由Z变换的定义：,可知：在给定收敛域内把像函数X(z)按z-1的幂展开，那么级数的系数就是序列x(n)的值。,例：,信号与系统（信息工程）,例：设有Z变换式 ，试用幂级数展开法进行反Z变换。这里的f(n)为有始序列。,信号与系统（信息工程）,例： 求 在收敛域分别为|z|1和|z|1两 种情况下的逆变换x(n)。 解：对收敛域|z|1，X(z)相应的序列x(n)是因果序列，这时X(z)写成 ,进行长除，展开成级数，这样得到x(n)=(3n+1)u(n)。 当收敛域为|z|1时，x(n)为左边序列,
