《高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)---副本》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)---副本（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1用放缩法处理数列和不等问题（教师版）用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1正数数列的前项的和，满足，试求： nannS12nnaS（1）数列的通项公式； na（2）设，数列的前项的和为，求证：11nnnaab nbnnB21nB解：（1）由已知得，时，作差得：2) 1(4nnaS2n2 11) 1(4nnaS12 12224nnnnnaaaaa，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差0)2)(11nnnnaaaa na21nnaa na数列，由，得，所以1211 aS11a12 nan（2
2、），所以)121 121(21 ) 12)(12(111nnnnaabnnn21 ) 12(21 21)121 121 51 31 311 (21nnnBn真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列的前项的和,， nan14122333n nnSa1,2,3,n A A A（）求首项与通项；（）设，证明：.1ana2nn nTS1,2,3,n A A A13 2ni iT解: ()由 Sn= an 2n+1+ , n=1,2,3， , 得 a1=S1= a1 4+ 所以a1=2头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头
3、头 4 31 32 34 31 32 3再由有 Sn1= an1 2n+ , n=2,3，4,4 31 32 3将和相减得: an=SnSn1= (anan1) (2n+12n),n=2,3, 4 31 3整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= (4n2n) 2n+1 + = (2n+11)(2n+12)4 31 32 31 3= (2n+11)(2n1) 2 3Tn= =
4、 = ( )2n Sn3 22n (2n + 11)(2n1)3 21 2n11 2n + 11所以, = ) = ( ) 1）1 112( 1)2( 1)nn nnnnnaSSaa 化简得：1 122( 1)nnnaa ,2) 1(2) 1(11 nn nnaa32 ) 1( 232 ) 1(11 nn nnaa故数列是以为首项, 公比为的等比数列.32 ) 1(nna 321 a2故 1)2)(31(32 ) 1(n nna222( 1) 3nn na 数列的通项公式为：.na222( 1) 3nn na 观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边
5、=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用232 4511131112 21212( 1)mm maaa 1等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，323221 21 121 121，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对434321 21 121 1211212 进行分类讨论，（1）当为偶数时，mm)4(mmaaa11154)11()11(11654mmaaaaa)21 21 21(23 21243m)211 (41 23 214m83 2187（2）当是奇数时，为偶数，m)4(m1m87111111
6、11165454mmmaaaaaaaa6所以对任意整数，有。4mmaaa1115487本题的关键是并项后进行适当的放缩。3.（07武汉市模拟）定义数列如下： Nnaaaannn, 1, 22 11求证：（1）对于恒有成立； （2）当，有成立； Nnnnaa1Nnn且211211aaaaannn（3）1111 2112006212006aaa分析：（1）用数学归纳法易证。（2）由得：12 1nnnaaa) 1(11nnnaaa) 1(111nnnaaa ) 1(1112aaa以上各式两边分别相乘得： ，又) 1(111211aaaaaannn21a11211aaaaannn（3）要证不等式，11
7、11 2112006212006aaa可先设法求和：，再进行适当的放缩。200621111 aaa) 1(11nnnaaannnaaa1 11 11111 1111nnnaaa200621111 aaa)11 11()11 11()11 11(200720063221aaaaaa又11 1120071aa20062111aaa120062006 12006212 aaaa原不等式得证。2006 20062121111aaa本题的关键是根据题设条件裂项求和。7用放缩法处理数列和不等问题用放缩法处理数列和不等问题一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩
8、处理）例1正数数列的前项的和，满足，试求： nannS12nnaS（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证： na11nnnaab nbnnB21nB真题演练1：设数列的前项的和,， nan14122333n nnSa1,2,3,n A A A（）求首项与通项；（）设，证明：.1ana2nn nTS1,2,3,n A A A13 2ni iT二先放缩再求和二先放缩再求和1 1放缩后成等比数列，再求和放缩后成等比数列，再求和例2等比数列中，前n项的和为，且成等差数列 na11 2a nS798,SS S设，数列前项的和为，证明：nn naab12 nbnnT1 3nT 83 3放缩后成等差数列，再求和放缩后成等差数列，再求和例4已知各项均为正数的数列的前项和为,且.nannS22nnnaaS(1) 求证：；22 1 4nn naaS(2) 求证：1 12122nn nSSSSS2.已知数列的前n项和满足：， nanSn nnaS) 1(21n（1）写出数列的前三项，；（2）求数列的通项公式；na1a2a3ana（3）证明：对任意的整数，有4m8711154maaa
