《高三一轮复习整理：概念、方法、题型、易误点（二）不等式与数列》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三一轮复习整理：概念、方法、题型、易误点（二）不等式与数列（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结（二）（二）四、不等式1、不等式的性质、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若,ab cdacbd，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；,ab cdacbd（2）左右同正左右同正不等式：同向的不等式可以相乘不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；0,0abcdacbd0,0abcdab cd（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方左右同正不等式：两边可以同时乘方
2、或开方：若，则或；0abnnabnnab（4）若，则；若，则。0ab ab11 ab0ab ab11 ab如（如（1）对于实数中，给出下列命题：cba,；22,bcacba则若babcac则若,2222, 0bababa则若；baba11, 0则若ba abba则若, 0baba则若, 0；，则。其中正确的命题是_（答：bcb acabac则若, 011,abab若0,0ab）；（2）已知，则的取值范围是_（答：）；11xy 13xy3xy137xy（3）已知，且则的取值范围是_（答：）cba, 0cbaac12,22. 不等式大小比较的常用方法不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过
3、分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；来源:Zxxk.Com（3）分析法；来源:学科网（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（如（1）设，比较的大小（答：当时，0, 10taa且21loglog21ttaa和1a （时取等号）；当时，（时取等号）；11loglog22aatt1t 01a11loglog22aatt1t （2）设，试比较的大小（答：）；2a 1 2paa2422aaqqp,pq（3）比较 1+与的大小（答：当或时，1+3lo
4、gx) 10(2log2xxx且01x4 3x 3logx；当时，1+；当时，1+）2log 2x413x3logx2log 2x4 3x 3logx2log 2x3. 利用重要不等式求函数最值利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这 17 字方针。如（如（1）下列命题中正确的是A、的最小值是 2 B、的最小值是 2 1yxx2232xy x C、的最大值是 D、的最小值是423(0)yxxx24 3423(0)yxxx（答：C）；24 3（2）若，则的最小值是_（答：）；21xy24xy2 2（3）正数满足，
5、则的最小值为_（答：）；, x y21xyyx1132 24.常用不等式常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；222 2211abababab （2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；222abcabbccaabc（3）若，则（糖水的浓度问题）。如如如果正数、满足0,0abmbbm aamab，则的取值范围是_（答：）3baabab9,5、证明不等式的方法、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：21111111 1(1)(1)1nnn
6、 nnn nnn来源:学科网11111121kkkkkkkkk 如（如（1）已知，求证： ；cba222222cabcabaccbba(2) 已知，求证：；Rcba,)(222222cbaabcaccbba（3）已知，且，求证：；, , ,a b x yR11,xyabxy xayb(4)若 a、b、c 是不全相等的正数，求证：；lglglglglglg222abbccaabc（5）已知，求证：Rcba,2222a bb c；22()c aabc abc(6)若，求证：；*nN2(1)1(1)nn 21nn (7)已知，求证：；| |ab| |abab abab（8）求证：。222111122
7、3n6. 一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，axb若,则；若,则；若,则当时，；当时，。如如已知关0a bxa0a bxa0a 0b xR0b x于的不等式的解集为，则关于的不等式x0)32()(baxba)31,(x的解集为_（答：）0)2()3(abxba |3x x 7. 一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当和时的解集你会正确表示吗？设0 0 ,是方程的两实根，且，则其解集如下表：0a 12,x x20axbxc12xx20axbxc20axbxc20axbxc20axbxc0 或1 |x xx2xx或
8、1 |x xx来源:学#科#网 Z#X#X#K2xx12 |x xxx12 |x xxx0 |2bx xa R |2bx xa 0 RR如如解关于的不等式：。（答：当时，；当时，或x01) 1(2xaax0a 1x 0a 1x ；当时，；当时，；当时，）1xa01a11xa1a x1a 11xa8. 对于方程对于方程有实数解的问题有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数是否为 0，其次若，02cbxaxa0a则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同042acb样的情形？如：如：（1）对一切恒成立，则的取值范围是_（答：）；222210axax Rxa(1,2来
9、源:Z&xx&k.Com（2）关于的方程有解的条件是什么？(答：，其中为的值域)，特别地，若x( )f xkkDD( )f x在内有两个不等的实根满足等式，则实数的范围是_.（答：0,2cos23sin21xxkk）0,1)9.一元二次方程根的分布理论一元二次方程根的分布理论。方程在上有两根、在上2( )0(0)f xaxbxca),(k( , )m n有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？),(k),(k（0( )02f kbk a 、）。根的分布理论成立的前提是开0()0( )02f mf nbm an ( )0f k 区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分
10、布的,nm0)(xf),(nm情况，得出结果，再令和检查端点的情况如如实系数方程的一根大于 0nx mx 220xaxb且小于 1，另一根大于 1 且小于 2，则的取值范围是_（答：（，1）12 ab 4110.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即20axbxc为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交20( 0)axbxc2yaxbxcx点的横坐标。如如（1）不等式的解集是，则=_（答：）；来源:Zxxk.Com3 2xax(4, )ba1 8（2）若关于的不等式的解集为，其中，则关于x02 cbxax),(),( nm 0 nm的不等式的解集为_
11、（答：）；x02 abxcx),1()1,( nm（3）不等式对恒成立，则实数的取值范围是_（答：）。来源:学.科.网23210xbx 1,2x bZ.X.X.K来源:Zxxk.Com11.简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正；y (a0) O k x1 x2 x （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇奇穿过偶弹回穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。( )f x如（如（1）解不等式。（答
12、：或）；2(1)(2)0xx |1x x 2x （2）不等式的解集是_（答：或）；2(2)230xxx |3x x 1x （3）设函数、的定义域都是 R，且的解集为，的解( )f x( )g x( )0f x |12xx( )0g x 集为，则不等式的解集为_（答：）；( )( )0f x g x A(,1)2,)（4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式x0922axxx中的一个，则实数的取值范围是_.（答：）08603422xxxx和a817,)812.三次函数的部分性质：三次函数的部分性质：三次函数有对称中心三次函数有对称中心为，想想与方程 f(x)=0 的关系。1
13、3.分式不等式的解法分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（如（1）解不等式（答：）；25123x xx ( 1,1)(2,3)（2）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为x0bax), 1 ( x02 xbax_（答：）.), 2() 1,(14.绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集最后结果应取各段的并集）：如如解不等式（答：）；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如如解不等式|21|2|432| xxxR（答：）（4）两边平方：如如若不等式对恒|1| 3xx(, 1)(2,) |32| |2|xxaxR成立，则实数的取值范围为_。（答：）来源:学科网a4 315、含参、含参不等式的解法不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如（如（1）若，则的取值范
