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1、函数模型及其应用,3.2.1 几类不同增长的函数模型,在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气,材料：澳大利亚兔子数“爆炸”,例1 、 假
2、设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一、每天回报40元； 方案二、第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？,下面我们先来看两个具体问题。,例、1 假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一、每天回报40元； 方案二、第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？,分析：,2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？,1、依据什
3、么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？,分析：,2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？,1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？,解：设第x天所得回报是y元 方案一可以用函数 进行描述； 方案二可以用函数 进行描述； 方案三可以用函数 进行描述.,3、三个函数模型的增减性如何？,4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？,图-1,我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？,函数图象是分析问题的好帮手。为了便于观察，我们用虚线连接离散的点。,根据以上的分析，是否应作这样的选
4、择：投资5天以下先方案一，投资58天先方案二，投资8天以上先方案三？,由表-1和图-1可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所 无法企及的，从每天所得回报看，在第14天，方案一最多，在58天，方案二最多；第9天开始 ，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元。,因此，投资8天以下(不含8天)，应选择第一种投资方案；投资
5、810天，应选择第二种投资方案；投资11天(含11 天)以上，刚应选择第三种投资方案。,例 2、 某公司为了实现1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售 利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖 金 y (单位：万元)随销售利润 （单位：万元）的 增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时奖金 总数不超过利润的25%,现有三个奖励模型：其中 哪个模型能符合公司的要求？,例 2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润 （单位：万元）的增加而增加，但资金总
6、数不超过5万元，同时奖金总数不超过利润的25%,现有三个奖励模型： 其中哪个模型能符合公司的要求？,分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，,奖金总数不超过5万元，,由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润。,同时奖金不超过利润的25%，,于是，只需在区间10,1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可。,不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果。(图略）,思考：,X的取值范围，即函数的定义域 要满足哪些条件？ 通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？,解： 借助计算机作出函数的图象(图3.2-2)。
7、,观察图象发现，在区间10 ,1000上，模型 的图象都有一部分在直线 的上方，只有模型 的图象始终在 的下方，这说明只有按模型 进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断。,首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万。,对于模型 ，,对于模型 ，,对于模型 ，,它在区间10 ,1000上递增，当 时， 因此该模型不符合要求；,，由函数图象，并利用计算器，可知在区间 内有一个点 满足 ，由于它在区间 10 ,1000上递增，因此当 时， 因此该模型也不符合要求；,它在区间 10 ,1000 上递增，而且当 时 ， ，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。,令 。 利用计算机作出函数 的图象
8、 （ 图），由图象可知它是递减的，因此 即 所以当 时， 。 说明按模型 奖金不会超过利润的25%。,再计算按模型 奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当 时，是否有 成立。,综上所述，模型 确实能很符合公司要求。,小结与反思： 通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美,1、四个变量 随变量 变化的数据如下表：,练习：,1.005,1.0151,1.0461,1.1407,1.4295,2.3107,5,155,130,105,80,55,30,5,33733,1758.2,94.478,5,4505,3130,2005,1130,505,130,5,30,25,20,15,10,5,0,练习：,2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机。现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？,作业,习题3.2 A组1、2 B组 1,
