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1、1 7 2 x B(0,4) A(6,0) E F x y O 二次函数与四边形二次函数与四边形 一二次函数与四边形的形状二次函数与四边形的形状 例 1.(浙江义乌市) 如图，抛物线与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点 2 23yxx 左侧），直线 与抛物线交于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2l （1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式； （2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平 行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值； （3）点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四 个点为顶点的四边形
2、是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果 不存在，请说明理由 练习 1.(河南省实验区河南省实验区) 23如图，对称轴为直线的抛物线经过点 7 2 x A（6，0）和 B（0，4） （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点 E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形xy OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形 OEAF 的面积 S 与之间x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；x 当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否 为菱形？ 是否存在点 E，使平行四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若
3、不存在，请说明理由 A 2 练习练习 2.2.（四川省德阳市）（四川省德阳市）25.25.如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为x(10)A ，(5 0)B ， 1 l ，抛物线与关于轴对称，顶点为(3 4)C ， 2 l 1 lx C （1）求抛物线的函数关系式； 2 l （2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动O(0 4)D ， 2 lP 1 l P xP 到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？DOP P ， （3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存， 2 lMABMAB30 求出点的坐标；若不存在，说明理由M 练习 3.（山西卷）如图，已知
4、抛物线与坐标轴的交点依次是， 1 C( 4 0)A ，( 2 0)B ，(0 8)E ， （1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式； 1 C 2 C （2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于 1 CM 2 Cx 两点（点在点的左侧），顶点为，四边形CD，CDN 的面积为若点，点同时以每秒 1 个单位的速度沿MDNASAD 水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每MN 秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点A 重合为止求出四边形的面积与运动时间 之间的关DMDNASt 系式，并写出自变量 的取值范围；t （3）当 为何值时，四边形的面积有最大值，并求tMDN
5、AS 出此最大值； （4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求MDNA 出此时 的值；若不能，请说明理由t 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 54321 A E B C 1 O 2 l 1 l x y 3 二二次函数与四边形的面积二次函数与四边形的面积 例例 1.1.（资阳市）（资阳市）25.25.如图 10，已知抛物线 P：y=ax2+bx+c(a0) 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在 x 轴的正半轴上)，与 y 轴交于点 C，矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上，顶点 F、G 分别在线段 BC、AC 上，抛物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： x-3
6、-212 y - 5 2 -4 - 5 2 0 (1) 求 A、B、C 三点的坐标； (2) 若点 D 的坐标为(m，0)，矩形 DEFG 的面积为 S，求 S 与 m 的函数 关系，并指出 m 的取值范围； (3) 当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时，连接 DF 并延长至点 M，使 FM=kDF，若点 M 不在抛物线 P 上，求 k 的取值范围. 练习 1.（辽宁省十二市 2007 年第 26 题）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H 的坐标为（8，0），点N的坐标为（6，4） （1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对
7、 应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）； （2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； （3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之 间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值； 若不存在，请说明理由； （4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的 值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由 图 10 4 练习 3.（吉林课改卷）如图，正方形的边长为，在对称中心处有一钉子动点，ABCD2cmOP 同时从点出发，点沿方向以每秒的速度运动
8、，到点停止，点沿QAPABC2cmCQ 方向以每秒的速度运动，到点停止，两点用一条可伸缩AD1cmDPQ 的细橡皮筋联结，设秒后橡皮筋扫过的面积为x 2 cmy （1）当时，求与之间的函数关系式；01xyx （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求值；x （3）当时，求与之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及12xyx 钉子到运动停止时的变化范围；POQ （4）当时，请在给出的直角坐标系中画出与之间的函数图02xyx 象 练习 4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线 l1：y=x2-4 的图象与 x 轴相交于 A、C 两点，B 是抛物 线 l1上的动点(B 不与 A、C 重合)，抛物线 l2与 l1关于 x
9、 轴对称，以 AC 为对角线的平行四边形 ABCD 的第四个顶点为 D. (1) 求 l2的解析式； (2) 求证：点 D 一定在 l2上； (3) ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积 (若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说 明理由. 注：计算结果不取近似值 . B C P O D Q A B PC O D Q A y 3 2 1 O 12x 5 三二次函数与四边形的动态探究 例例 1.(荆门市荆门市)28. 如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0，0)，A(4，0)， C(0，3)，点 P 是 OA 边上的动
10、点(与点 O、A 不重合)现将PAB 沿 PB 翻折，得到PDB；再在 OC 边上选取适当的点 E，将POE 沿 PE 翻折，得到PFE，并使直线 PD、PF 重合 (1)设 P(x，0)，E(0，y)，求 y 关于 x 的函数关系式，并求 y 的最大值； (2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、B、E 的抛物线的函数关系式； (3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若 不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标 图 1 F E P D y x B A C O 图 2 O C A B x y D P E F 例 2
11、.（2010 年沈阳市第 26 题）、已知抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上， 点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（OB0,y 表示点 E 到 OA 的距离OA 是的对角线，OEAFA 2 17 2264()25 22 OAE SSOA yy A 因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的xx 取值范围是 16x 根据题意，当 S = 24 时，即 2 7 4()2524 2 x 化简，得 解之，得 2 71 (). 24 x 12 3,4.xx 故所求的点 E 有两个，分别为 E
12、1（3，4），E2（4，4） 点 E1（3，4）满足 OE = AE，所以是菱形；OEAFA 点 E2（4，4）不满足 OE = AE，所以不是菱形OEAFA 当 OAEF，且 OA = EF 时，是正方形，此时点 E 的OEAFA 坐标只能是（3，3） 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 54321 A E B C 1 O 2 l 1 l x y 9 5 4 3 2 1 1 2 3 D 5 5 4321 C E M B C 1 O 2 l 1 l x y 而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E， 使为正方形OEAFA 练习练习 2.解：解：（1）由题意知点的坐标为设的函
13、数关系式为 C (34)， 2 l 2 (3)4ya x 又点在抛物线上，解得(10)A ， 2 (3)4ya x 2 (1 3)40a1a 抛物线的函数关系式为（或） 2 l 2 (3)4yx 2 65yxx （2）与始终关于轴对称， 与轴平行P P x PP y 设点的横坐标为，则其纵坐标为，即Pm 2 65mm4OD 2 2654mm 当时，解得当时，解得 2 652mm 2 652mm36m 2 652mm 当点运动到或或或时，32m P(36 2)，(36 2)，(322)，(322)， ，以点为顶点的四边形是平行四边形P POD DOP P ， （3）满足条件的点不存在理由如下：若
14、存在满足条件的点在上，则MM 2 l ，（或），90AMB 30BAM 30ABM 11 42 22 BMAB 过点作于点，可得MMEABE30BMEBAM ， 11 21 22 EBBM3EM 4OE 点的坐标为M(43)， 但是，当时，4x 2 46 451624533y 不存在这样的点构成满足条件的直角三角形M 练习 3. 解 （1）点，点，点关于原点的对称点分别为，( 4 0)A ，( 2 0)B ，(0 8)E ，(4 0)D ， ， 设抛物线的解析式是(2 0)C ，(08)F， 2 C ，则解得 2 (0)yaxbxc a 1640 420 8 abc abc c ， ， ， 1
15、 6 8 a b c ， ， ， 所以所求抛物线的解析式是 2 68yxx （2）由（1）可计算得点 ( 31)(31)MN， 过点作，垂足为NNHADH 当运动到时刻 时， t282ADODt12NHt 10 根据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形OAODOMON，MDNA 所以所以，四边形的面积 因为运2 ADN SS MDNA 2 (82 )(12 )4148Stttt 动至点与点重合为止，据题意可知AD04t 所以，所求关系式是， 的取值范围是 2 4148Stt t04t （3），（） 781 4 44 St 04t 所以时，有最大值 7 4 t S 81 4 提示：也可用顶点坐标公式来求 （4）在运动过程中四边形能形成矩形 MDNA 由（2）知四边形是平行四边形，对角线是，所以当时四边形MDNAADMN，ADMN 是矩形MDNA 所以所以 OD
