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1、两自由度系统的振动,主讲 贾启芬,Mechanical and Structural Vibration,Mechanical and Structural Vibration,两自由度系统的振动,1 两自由度系统的自由振动2 坐标的耦联3 拍振4 两自由度系统的受迫振动,目录,Mechanical and Structural Vibration,自由振动微分方程,由牛顿第二定律得,两自由度的弹簧质量系统。两物体均作直线平移，略去摩擦力及其它阻尼。,1 两自由度系统的自由振动,运动微分方程,Mechanical and Structural Vibration,分别以两物体的平衡位置为坐标原
2、点，取x1、x2为广义坐标，,质量矩阵,刚度矩阵,加速度列阵,坐标列阵,1 两自由度系统的自由振动,运动微分方程,Mechanical and Structural Vibration,根据微分方程的理论，设方程的解为,这组解可写成矩阵形式,代入微分方程后，化简可得代数齐次方程组,1 两自由度系统的自由振动,频率方程,Mechanical and Structural Vibration,系数行列式等于零,这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程,1 两自由度系统的自由振动,频率方程,Mechanical and Structural Vibration,展式为,特征方程可写为,特征方程的两
3、组特征根,特征根,是两个大于零的不相等的正实根,1 两自由度系统的自由振动,频率方程,Mechanical and Structural Vibration,p1、p2就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低的频率p1称为第一阶固有频率；较高的频率p2称为第二阶固有频率。,1 两自由度系统的自由振动,频率方程,Mechanical and Structural Vibration,由式看出，固有频率p1、p2与运动的初始条件无关，仅与振动系统固有频率的物理特性，即物体的质量、弹性元件的刚度有关。,第一主振动,第二主振动,振幅比,第二主振型,第一主振型,将第一固有频率p1代入,主振型,Mecha
4、nical and Structural Vibration,1 两自由度系统的自由振动,根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即,由运动的初始条件确定。,写成矩阵形式,1 两自由度系统的自由振动,主振型,Mechanical and Structural Vibration,例 题,例试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知m1= m2=m , k1= k3=k, k2= 4k，再求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t0，x101cm， x200,（2） t0，x101cm， x20-1cm,1 两自由度系统的自由振动,Mechan
5、ical and Structural Vibration,例 题,解：（1）建立运动微分方程式,1 两自由度系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,质量矩阵,刚度矩阵,例 题,将M和K代入频率方程,系统的第一阶和第二阶固有频率为,（2）解频率方程，求pi,1 两自由度系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,例 题,将 、 分别代入，得,（3）求主振型,主振型为,1 两自由度系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,振幅比为,例 题,(4)将初始条件（1
6、）代入式，解得,这表明，其响应为频率p1、p2的两种主振动的线性组合。,1 两自由度系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,例 题,这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率p2作谐振动。,(5) 再将初始条件（2）代入式,1 两自由度系统的自由振动,Mechanical and Structural Vibration,两自由度系统的振动,2 坐标的耦联,Mechanical and Structural Vibration,两个质点的运动互相不独立，它们彼此受另一个质点的运动的影响。这种质点或质点系的运动相互
7、影响的现象叫做耦联。表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦联或弹性耦联。当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为在坐标之间有动力耦联或质量耦联.,2 坐标的耦联,耦联与非耦联,Mechanical and Structural Vibration,经特别选择的、可使方程式写成既无动力耦联又无静力耦联形式的坐标称为主坐标。,Mechanical and Structural Vibration,2 坐标的耦联,主坐标,图表示两个摆长、质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自由度系统，求主振动。,Mechanical and Structural
8、Vibration,主坐标,取 、 表示摆的角位移，逆钟向转动为正，每个摆的受力如图。,得到摆做微小振动的微分方程,Mechanical and Structural Vibration,（1）建立运动微分方程式,主坐标,经特别选择的、可使方程式写成既无动力耦联又无静力耦联形式的坐标称为主坐标。,将以上两式相加、相减便得到,令,Mechanical and Structural Vibration,主坐标,可见， 是系统的主坐标，可直接得到其固有频率为,Mechanical and Structural Vibration,3 拍振,得到系统的第一阶和第二阶固有频率为,将M和K代入频率方程,（
9、2）解频率方程，求pi,得到系统的第一阶和第二阶主振型为,3 拍振,Mechanical and Structural Vibration,将 、 分别代入，得,（3）求主振型,于是得到第一主振动,第二主振动,系统振动的一般解,3 拍振,Mechanical and Structural Vibration,3 拍振,Mechanical and Structural Vibration,证明，当弹簧刚度k很小，在一定的初始条件下，系统将作拍振。,如果初始条件是：t = 0时，,得到双摆作自由振动的规律,这时p1 、p2相差很小，摆将出现拍振。将上式写成,如果弹簧的刚度k很小，因而,代入上式得
10、到,3.2 拍振,Mechanical and Structural Vibration,拍频率,拍振周期,3 拍振,Mechanical and Structural Vibration,3 拍振,式中的 完成了几个循环后， 才能完成一个循环。这是一个频率为pa的变幅振动，振幅在 与零之间缓慢地周期性变化。,包络线,Mechanical and Structural Vibration,两自由度系统的振动,4 两自由度系统的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,若两个物块受到激振力的作用,列出该系统的受迫振动微分方程，其矩阵形式为,为简谐振力的幅值
11、列阵，为激振频率,系统的稳态响应。设特解为,4 两自由度系统的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,引入记号,得到关于振幅B1、B2的非齐次代数方程组为,此式的展式为,式中,由此解出受迫振动的振幅,4 两自由度系统的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,其中p1、p2为系统的两个固有频率,结论：在简谐干扰力作用下，两自由度无阻尼的线性振动系统的受迫振动是以干扰力频率为其频率的简谐振动。受迫振动的振幅大小不仅和干扰力的幅值大小F1、F2有关， 而且和干扰力的频率有关。特别是当p1或p2时，即当 干扰力的频率等
12、于振动系统的固有频率时，振幅B1、B2将会 无限地增大，发生共振。与单自由度振动系统不同，两自由 度系统一般有两个固有频率，因此，可能出现两次共振。,4 两自由度系统的受迫振动,Mechanical and Structural Vibration,建立该系统的运动微分方程为,设稳态响应为,Mechanical and Structural Vibration,4 两自由度系统的受迫振动,图示系统为两自由度无阻尼受迫振动系统。,设式中的系数行列式不为零，即,因此，可得受迫振动的振幅,Mechanical and Structural Vibration,4 两自由度系统的受迫振动,令,Mech
13、anical and Structural Vibration,使p22与系统的工作频率(激振力的频率)相等，则x1的振动将被消除，这种现象称为振。,4 两自由度系统的受迫振动,减振器,图为无阻尼动力减振器的系统。其中由质量m1和弹簧k1组成的系统，称为主系统；由质量m2和弹簧k2组成的辅助系统，称为减振器。,Mechanical and Structural Vibration,减振器的质量m2的运动为,减振器经过弹簧k2对m1的作用力为,这个力恰与作用在主质量m1上的激振力 大小相等、方向相反，互相平衡。,这就是减振器消除主系统振动的原理。,无阻尼减振器,无阻尼减振器,动力减振器只在一个频
14、率即振频率近旁很窄的频率范围内效果好。,因此，它仅适用于频率变化很小的振动系统。不过在近旁的某个小范围内也能满足要求，这时，主系统质量m1的运动虽不是零，但振幅很小。,Mechanical and Structural Vibration,减振器,图表示在= = 0.2, p11= p22时， 随 变化的规律，阴影部分是减振器的可工作频率范围。,无阻尼减振器,这种减振器的缺点是使单自由度系统成为两自由度系统，因而有两个固有频率。如果激振力的频率变化，就可能出现两次共振。解决这些问题的途径是（1）采用阻尼动力减振器；（2）增加控制系统，使原来的被动减振器变为有源的主动减振器。,Mechanica
15、l and Structural Vibration,减振器,例 题,如图所示，已知机器质量m1=90kg，减振器质量m2=2.25kg，若机器上有一偏心质量m=0.5kg，偏心矩e=1cm，机器转速n = 1800 r/min。试求 (1) 稳态振幅,(2) 减振器的弹簧刚度k2多大，才能使机器振幅为零? (3) 此时减振器的振幅B2为多大? (4) 若使减振器的振幅B2不超过2mm，应如何改变减振器的参数?,解：建立广义坐标由图示。得作用力方程为,Mechanical and Structural Vibration,减振器,例 题,代入上式得,设,由已知条件知：作用在机器上的激振力,Me
16、chanical and Structural Vibration,减振器,例 题,（2）若满足,则机器振幅为零,N/m,（3）此时：,mm,Mechanical and Structural Vibration,减振器,例 题,（4）令B22 (mm),同时满足,Mechanical and Structural Vibration,减振器,返回首页,Theory of Vibration with Applications,习 题,质量为200 kg的机器与一个刚度为4105 N/m的弹簧相连。在运动过程中，机器受到一个大小为500 N，频率为50 rad/s的简谐激励，设计一个无阻尼减振器，使得主质量的稳态振幅为零，减振器质量的稳态振幅小于2 mm。并求带有减振器之后的系统的固有频率。,
