七年级上数学第四章知识点

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1、1第三章：一元一次方程第三章：一元一次方程 一、方程的有关概念一、方程的有关概念 1、方程的概念、方程的概念 （1）含有未知数的等式叫方程。 （2）在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1，系数不为 0，这样的方程叫一元一次方程。且一元一次方程的一般形式为：)0(0abax概念剖析：概念剖析：方程一定是等式，但等式不一定都是方程，只有含未知数的等式叫方程；等式：用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式；一元一次方程的条件：是方程；只含有一个未知数；未知数的指数是 1；知数的系数不 为 0； 例例 1、下列式子是方程的是（ ）A、953 yx B、0791 yxC、11xD、2105

2、3例例 2、下列方程是一元一次方程的是( )A、92yx B、132 xx C、11xD、xx3121例例 3、已知方程0213bnxmx是关于x的一元一次方程，求m、n、b的值；2、等式的基本性质、等式的基本性质 （1）等式两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，所得结果仍是等式。若ba ，则 cbca或cbca。 （2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为 0） ，所得结果仍是等式。若ba ，则bcac 或cb ca；（3）对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。若ba ，则ab ； （4）传递性：如果ba ，且cb ，那么ca ，这一性质叫等量代换。 例例 4、用适当的数

3、或式子填空 如果532x，那么 52x_；如果632x，那么x_；如果1233ba，那么_b3；如果ab211，那么a2_；二、解方程二、解方程 1、解方程及解方程的解的含义、解方程及解方程的解的含义求得方程的解的过程，叫做解方程。使方程的左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的 解。例例 5、方程214x的解为_；例例 6、如果1x是方程)(4) 1(mxxm的解，则m _；例例 7、程) 1(422xax的解为3x，则a的值为（ ）2A、2 B、22 C、10 D、2例例 8 若2)3( a与1b互为相反数，则a_，b_；2、移项的有关概念、移项的有关概念 把方程中的某一项改变符号后，从

4、方程的一边移到另一边，这种变形的过程叫做移项。这个 法则是根据等式的性质推出来的，是解方程的依据。要明白移项就是根据解方程变形的需要，把 某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边。 知识概括：知识概括：移项不仅仅是位置变化，而是将方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边；移项必变号， “+”变“” ， “”变“+” ；“” 变“” ， “”变“” ；即移 加变减，移 乘变除，移减变加，移除变乘； 3、解一元一次方程的步骤、解一元一次方程的步骤 解一元一次 方程的步骤主要依据注意问题1、去分母等式的性 质 2注意拿分母的最小公倍数乘遍方程的每一项，切记不 可漏乘某一项，分母是小数的，要先

5、利用分数的性质， 把分母化为整数，若分子是代数式，则必加括号。2、去括号去括号法 则 乘法分配 律严格执行去括号的法则，若是数乘括号，切记不漏乘 括号内的项，减号后去括号，括号内各项的符号一定 要变号。3、移项等式的性 质 1越过“=”的叫移项，属移项者必变号；未移项的项 不变号，注意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左边， 已知数移在右边，书写时，先写不移动的项，把移动 过来的项改变符号写在后面。 4、合并同 类项合并同类 项法则注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指 数均不改变。 5、系数化 为 1等式的性 质 2两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是 分母（除数） ，切不可

6、分子、分母颠倒。 6、检验 知识窗口：知识窗口：解相同的方程称为同解方程；方程两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，方程的解不发生改变（方程同解原 理 1） ；方程两边同时乘以（或除以）同一个不为 0 数或代数式，方程的解不发生改变 （方程同解原理 2） ；例例 9、解程5 . 0815 612xx解：解：根据（ ）得：12) 15(3) 12(4xx （ ）得：1231548xx 根据（ ）得：3412158x （ ）得：197 x根据（ ）得：752x请选择正确的答案填如上面的括号内 A、去括号 B、合并同类项 C、方程等式的性质 1 D、方程等式的性质 23例例 10、各方程62421

7、yyy 14 . 1 3 . 02 . 07 . 0xx32)32(96x )2(511) 1(21xx二、列方程初步（列代数式）二、列方程初步（列代数式）1、列代数式、列代数式（1）在解决一些实际问题时，往往需要先把问题中与数量有关的词语用含有数、字母和运算符号 的式子写出来，这就是列代数式。 （2）列代数式的实质也就是把文字语言转化成数学符号语言，即用代数式表示。 （3）正确列代数式的关键是：认真审题，理清数量关系，抓住关键性的词语（字句） ；正确 判断各数量关系中的运算顺序；要理解并掌握基本的数量关系。如：路程问题：路程=时间速度 速度=路程时间 时间=路程速度 平均速度=总路程总时间

8、轮船航行问题：顺水航行的速度=静水速度+水流速度 逆水航行的速度=静水速度水流速度 工程问题：工作量=工作时间工作效率 工作效率=工作总量工作时间 工作时间=工作总 量工作效率价格问题：总价=单价数量 单价=总价数量 数量=总价单价利润问题：利润=售价成本 售价=利润+成本 成本=售价利润数字问题：表示数字的方法： LL万千百十个aaaaa100001000100101（其中个a、十a、百a、千a、万a表示个位、十位、百位、千位万位的数字） 。 面积问题：记住特殊图形的面积公式，非特殊图形的面积可用“面积分割补法”去计算。例例 11、用代数式表示 甲乙两数和的平方与甲乙两数的平方的差的积；n除

9、m的商与c的差的 2 倍大 1 的数；例例 12、设n表示任意一个整数利用含有n的代数式表示： 任意一个偶数；任意一个奇数；不能被 3 整除的数；三个连续偶数的平方和；例例 13、一项工程甲单独完成需要a天，乙单独完成需要b天，若两队合作，完成这项工程需要多少 天？例例 14、一个水池装有两条进水管，单开甲进水管，x小时可以将空池注满，单开乙进水管，y 小时 可以将空池注满，则两管一起开，一小时可以注水多少？例例 15、甲乙两人行走，甲走完全程需要时间为，乙走完全程需要时间为，则两人一小时共走全程的 几分之几？例例 16、一、一轮船在 A、B 两地航行，已知 A、B 两地相距skm，从 A 到

10、 B 是顺水，从 B 到 A 是逆水， 轮船在静水中的速度为每小时mkm，水流的速度为每小时nkm，求轮船在 A、B 两地间往返 一次的平均速度。4例例 17、轮船在 A、B 两地航行，静水中的速度为每小时mkm，水流的速度为每小时nkm，求轮船在 A、B 两地间往返一次的平均速度。例例 18、张大佰从报社以每份 0.4 元的价格购进了a份报纸，以每份 0.5 元的价格售出了b份，剩余的 以每份 0.2 元的价格退回了报社，则张大佰卖报收如_元。例例 19、某超市为了促销，常用打折的方法.某种商品的零售价为元，先后两次打折，第一次打八折， 第二次打七折，两次打折后的零售价为多少元，比原价便宜多

11、少元？例例 20、甲、乙两人从同地出发同向而行，甲每小时走)(kmm，乙每小时走)(kmn（nm ） ，乙比甲先走a小时， 小时后甲可以追上乙。 例例 21、上等米每千克售价为x元，次等米每千克售价为y元，取上等米a千克和次等米b千克，混 合后为了价格持平，则混合后的大米每千克售价应为多少元？例例 22、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低 m 元后，又降价 10%，现售价为 n 元，那么该电脑的原售价为多少？例例 23、如果用a名同学在b小时内搬运c块砖，那么c名同学以同样的速度搬运a块砖需要多少时间？例例 24、种商品每件进价为a元，按进价增加 25定出售价，

12、后因库存积压降价，按售价的九折出 售，每件还能盈利多少元？例例 25、一个四位数，它的千位数字、百位数字、十位数字和个位数字分别是a、b、c、d把这个四 位数的顺序逆过来（如 7643 变为 3467） ，求所得的四位数与原来的四位数的差。例例 26、 （1）一个偶数和一个奇数的和是奇数吗？为什么？（2）三个连续自然数之和是三的倍数？ 为什么？例例 27、一个两位数，当它的个位数字是十位数字的 2 倍时，它能被 12 整除吗？为什么？ 三、列方程解应用题三、列方程解应用题 1、列方程解应用题的一般步骤 （1）将实际问题抽象成数学问题；（2）分析问题中的已知量和未知量，找出相等关系；（3）设 未

13、知数，列出方程； （4）解方程； （5）检验并作答。 2、一些实际问题中的规律和等量关系一些实际问题中的规律和等量关系 （1）日历上数字排列的规律是：横行每整行排列 7 个连续的数，竖列中，下面的数比上面的数大 7。日历上的数字范围是在 1 到 31 之间，不能超出这个范围。 （2）几种常用的面积公式： 长方形面积公式：abS ，a为长，b为宽，S为面积；正方形面积公式：2aS ，a为边长，S 为面积； 梯形面积公式：hbaS)(21，a、b为上下底边长，h为梯形的高，S为梯形面积；圆形的面积公式：2rS，r为圆的半径，S为圆的面积；三角形面积公式：ahS21，a为三角形的一边长，h为这一边上

14、的高，S为三角形的面积。（3）几种常用的周长公式：长方形的周长：)(2baL，a，b为长方形的长和宽，L为周长。5正方形的周长：aL4，a为正方形的边长，L为周长。 圆：rL2，r为半径，L为周长。 （4）柱体的体积等于底面积乘以高，当休积不变时，底面越大，高度就越低。所以等积变化的相 等关系一般为：变形前的体积=变形后的体积。 （5）打折销售这类题型的等量关系是：利润=售价成本。 （6）行程问题中关建的等量关系：路程=速度时间，以及由此导出的其他关系。 （7）在一些复杂问题中，可以借助表格分析复杂问题中的数量关系，找出若干个较直接的等量关 系，借此列出方程，列表可帮助我们分析各量之间的相互关

15、系。 （8）在行程问题中，可将题目中的数字语言用“线段图”表达出来，分析问题中的数量关系，从 而找出等量关系，列出方程。例例 28、甲、乙、丙三人，甲每分钟走 60m，乙每分钟走 67.5m，丙每分钟走 75m，如果甲、乙 两人在东村，丙在西村，三人同时相向而行，丙遇到乙后 2 分钟又遇到了甲，求东、西两村的距 离。例例 29、某工厂甲、乙、丙三个工人每天生产的零件数，甲和乙的比是 34，乙和丙的比是 23。 若乙每天所生产的件数比甲和丙两人的和少 945 件，问每个工人各生产多少件？例例 30、一、一架飞机飞行于两城之间，顺风飞行需要 5 小时 30 分钟，逆风飞行需要 6 小时，已知风速 是每小时 24km，求两城之间的距离。例例 31、某