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1、五年制高职教案- 1 -13.113.1 不定积分的概念不定积分的概念 教学目的教学目的 1正确理解原函数的概念。2掌握不定积分的定义，了解不定积分的几何意义。 教学重点教学重点 掌握不定积分的定义 教学难点教学难点 掌握不定积分的定义 课外作业课外作业 习题 13.1 A 组 教学过程教学过程 一、不定积分的概念定义 1.1 设函数在某区间上有定义，若存在函数，使得该区间任)(xf)(xF一点处，均有或成立，则称为在该区间)()( xfxFdxxfxdF)()()(xF)(xf上的一个原函数例如，因为，所以233)(xx233)2(xx233)(xCx都是函数的原函数，因此的原函数如果存在，
2、那么不Cxxx333, 2,23x)(xf是唯一的。定理 1.1 若是的一个原函数，则都是的原函数，)(xF)(xfCxF)()(xf并且的任一原函数度可以表示为。)(xfCxF)(例 1 求下列函数的全部原函数：)(xF（1） （2）xxf2)(xxfcos)(解：（1）因为，所以是的一个原函数，于是xx2)(22xxxf2)(的全部原函数为xxf2)(CxxF2)(（2）因为，所以是的一个原函数，于是xxcos)(sinxsinxxfcos)(的全部原函数为xxfcos)(CxxF sin)(定理 1.2 若函数在区间上连续，则在上必存在原函数。)(xfI)(xfI五年制高职教案- 2 -
3、练习 13.1.1 二、不定积分的概念定义 1.2 若是在区间上的一个原函数，则的全体原函数)(xF)(xfI)(xf称为在区间上的不定积分，记为，即CxF)()(xfIdxxf)(，其中为积分号，为被积函数，为被CxFdxxf)()()(xfdxxf)(积表达式，称为积分变量，称为积分常数。xC 例 2 求下列各不定积分（1） （2） （3） （4）xdx2xdxcosdxx1dxex解：（1）因为，所以xx2)(2Cxxdx22（2）因为，所以xxcos)(sinCxxdxsincos（3）因为，所以xx1)(lnCxdxxln1（4）因为，所以xxee)(Cedxexx例 3 求下列各式
4、中的)(xf（1） （2）Cxxdxxfsin)(Cxxdxxf1)(解：（1）由定义可知，是的一个原函数，所以有xxxFsin)()(xfxxxxxxFxfcossin)sin()( )(（2）由定义可知，是的一个原函数，所以有xxxF1)()(xf2)1 (1)1()( )(xxxxFxf由不定积分与微分互为逆运算可以得到下列不定积分与微分的关系：（1）或)()(xfdxxfdxxfdxxfd)()(（2）或CxFdxxF)()( CxFxdF)()(练习 13.1.2 三、不定积分的几何意义五年制高职教案- 3 -设是的一个原函数，则曲线称为的一条积分曲线，)(xF)(xf)(xFy )(xf不定积分的几何意义是的全部积分曲线所组成的积分曲线族，其方程是)(xfCxFy)(由于，因此这个曲线族中的所有积分曲线在点)()( )( (xfxFCxF处的切线互相平行，即这些切线有相同的斜率。)(,(xfx例 4 求经过点，且其切线的斜率为的曲线方程)2 , 1 (x2解：设所求曲线方程为，则由题意可知，于是所求的)(xFy xxF2)( 曲线方程为Cxxdxy22又因为曲线经过点，则将其代入上述曲线方程，可得，故所求曲线)2 , 1 (1C方程为。12 xy练习 13.1.3 作业 习题 13.1 A 组
