k字型复习

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1、第 1 页（共 16 页）“K”字型复习（三等角型相似三角形三等角型相似三角形）引例：引例：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰 三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所 示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线 时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。课前演练：课前演练：1. 如图，等边ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，EDF=60 （1）求证：BDECFD （2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE 2. 如图

2、，等腰ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，EDF=B，求证：BDEDFE3.（2012朝阳）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 边上一动点（不与 B、C 重合） 连接 AE，过点 E 作 EFAE，交 DC 于点 F（1）求证：ABEECF；（2）连接 AF，试探究当点 E 在 BC 什么位置时，BAE=EAF，请证明你的结论第 2 页（共 16 页）第 3 页（共 16 页）精选例题：精选例题： 例例 1.（2015贺州）如图，在ABC 中，AB=AC=15，点 D 是 BC 边上的一动点（不与 B，C 重合） ，ADE=B=，DE 交 AB 于点 E，且 tan=

3、，有以下的结论：ADEACD；当 CD=9 时，ACD 与DBE 全等；BDE 为直角三角形时，BD 为 12 或；0BE，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）例 2. 如图，在ABC 中，AB=AC=5cm，BC=8，点 P 为 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合） ，过 点 P 作射线 PM 交 AC 于点 M，使APM=B； （1）求证：ABPPCM； （2）设 BP=x，CM=y求 y 与 x 的函数解析式，并写出函数的定义域 （3）当APM 为等腰三角形时， 求 PB 的长当堂巩固：当堂巩固： 练习练习 1:.（2012 秋洛江区期末）如图，在ABC 中 AB=AC=6cm，

4、BC=8cm点 E 是线段 BC 边 上的一动点（不含 B、C 两端点） ，连结 AE，作AED=B，交线段 AB 于点 D （1）求证：BDECEA； （2）设 BE=x，AD=y，请写 y 与 x 之间的函数关系式，并求 y 的最小值 （3）E 点在运动的过程中，ADE 能否构成等腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不能，请说 明理由第 4 页（共 16 页）2.（1）在中，点、分别在射线、上（点不ABC5 ACAB8BCPQCBACP与点、点重合） ，且保持.CBABCAPQ若点在线段上（如图 10） ，且，求线段的长；PCB6BPCQ若，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；xBP

5、 yCQ yx（2）正方形的边长为（如图 12） ，点、分别在直线、上（点不与点ABCD5PQCBDCP、点重合） ，且保持.当时，写出线段的长（不需要计算过程，请CB90APQ1CQBP直接写出结果）.第 5 页（共 16 页）课后巩固练习：课后巩固练习：1.如图，在ABC 中，是边上的一个动点，点在边8 ACAB10BCDBCEAC上，且CADE(1) 求证：ABDDCE；(2) 如果，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；xBD yAE yxx(3) 当点是的中点时，试说明ADE 是什么三角形，并说明理由DBC2.已知：如图，在ABC 中，点 D 在边 AB5 ACAB6BC 上，点

6、E 在边 BC 上又点 F 在边 AC 上，ABDE 且BDEF (1) 求证：FCEEBD；(2) 当点 D 在线段 AB 上运动时，是否有可能使EBDFCESS 4如果有可能，那么求出 BD 的长如果不可能请说明理由3.如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 是 BC 上一点，且 BP=2，将 一个大小与B 相等的角的顶点放在 P 点，然后将这个角绕 P 点转动， 使角的两边始终分别与 AB、AC 相交，交点为 D、E。 （1）求证BPDCEP （2）是否存在这样的位置，PDE 为直角三角形？若存在，求出 BD 的长；若不存在，说明理由。4.如图，在ABC 中，AB=AC=5，B

7、C=6，P 是 BC 上的一个动点(与 B、C不重合)，PEAB 与 E，PFBC 交 AC 与 F，设 PC=x，记 PE=，PF=1y2y（1）分别求、关于 x 的函数关系式1y2y（2）PEF 能为直角三角形吗?若能，求出 CP 的长，若不能，请说明理由。5.如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 是 BC 上的一个动点(与 B、C 不重合)，PEAB 与 E，PFBC 交 AC 与 F，设 PC=x，PEF 的面积为 y。 （1）写出图中的相似三角形不必证明； （2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；CPEABFCPEABDCPEABFABCDEABCDE

8、F第 6 页（共 16 页）（3）若PEF 为等腰三角形，求 PC 的长。6.已知在等腰三角形中，是的中点， 是上的动ABC4,6ABBCACDACEBC点（不与、重合） ，连结，过点作射线，使，射线交射线BCDEDDFEDFA DF 于点，交射线于点.EBFABH（1）求证：；CEDADH（2）设.,ECx BFy用含的代数式表示；xBH求关于的函数解析式，并写出的定义域.yxx7.已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图 8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC，求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合） ，且满足BPEA，P

9、E交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么：当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1 时，写出AP的长（不必写出解题过程） 8.如图，四边形 ABCD 中，ADBC，AMDC，E、F 分别是线段 AD、AM 上的90B8AB12AD34tanC动点（点 E 与 A、D 不重合）且，设，.AMBFEMxDE yMF （1）求证：；DMAM （2）求与的函数关系式并写出定义域；yx（3）若点 E 在边 AD 上移动时， 为等腰三角形，求的值；EFMx9.已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 BC =6，AB=DC=4，点

10、E 是 AB 的中点（1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证：BEPCPD；HABCDEFCDABPAEFDBMC第 7 页（共 16 页）（2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合） ，且满足EPF=C，PF 交直线 CD 于点 F，同时交直线 AD 于点 M，那么当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出xyyx函数的定义域；当时，求 BP 的长BEPDMFSS4910. 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=CD=BC=4，AD=2点 M 为边 BC 的中点，以 M 为顶点 作EMF=B，射线 ME 交

11、边 AB 于点 E，射线 MF 交边 CD 于点 F，连结 EF （1）指出图中所有与BEM 相似的三角形，并加以证明； （2）设 BE=x，CF=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；EDCBAP（第 25 题图）EDCBA（备用图）ABCDMEF第 8 页（共 16 页）参考答案：课前演练：课前演练：1. 解：解：（1）ABC 是等边三角形，EDF=60B=C=EDF=60EDC=EDF+FDC=B+BED，BED=FDC，BDECFD（2）BDECFD，。BD=1，FC=3，CD=5，BE=。BECD BDFC35点评：点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四

12、边。 2. 解：解：AB=AC，EDF=B，B=C=EDF，EDC=EDF+FDC=B+BEDBED=FDC，BDECFD， 又BD=CD，即DFDE CDBEDFDE BDBEDFBD DEBEEDF=B，BDEDFE。 点评：点评：三等角型相似中若点 D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点 D 是底边中点则有三对相似三角形，BDE 与CFD 相似后若得加上 BD=CD 可证得DFDE CFBDCFD 与DFE 相似。3. 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】 （1）有正方形的性质和已知条件证明BAE=FEC 即可证明：ABEECF；（2）连接 AF，延长

13、AE 于 DC 的延长线相交于点 H，当点 E 在 BC 中点位置时，通过证明三角形全等和等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明BAE=EAF【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，B=C=90，BAE+BEA=90，EFAE，AEF=90，BEA+FEC=90，BAE=FEC，ABEECF；（2）E 是中点时，BAE=EAF，理由如下：连接 AF，延长 AE 于 DC 的延长线相交于点H，E 为 BC 中点，BE=CE，ABDH，B=ECH，AEB=CEH，ABEHCE，AE=EH，EFAH，AFH 是等腰三角形，EAF=H，ABDH，H=BAE，BAE=EAF，当点 E 在 B

14、C 中点位置时，BAE=EAF【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判断和性质以及等腰三角形的判断和性质的综合运用，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质和相似三角形的各种判断方法，此题难度不大精选例题：精选例题： 例 1. 第 9 页（共 16 页）【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 【专题】压轴题【分析】根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；由 CD=9，则 BD=15，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；依据相似三角形对应边成比例即可求得【解答】解：ADE=B，DAE=BAD，ADEABD；故错误

15、；作 AGBC 于 G，ADE=B=，tan= ，= ，= ，cos= ，AB=AC=15，BG=12，BC=24，CD=9，BD=15，AC=BDADE+BDE=C+DAC，ADE=C=，EDB=DAC，在ACD 与DBE 中，ACDBDE（ASA） 故正确；当BED=90时，由可知：ADEABD，ADB=AED，BED=90，ADB=90，即 ADBC，AB=AC，BD=CD，ADE=B= 且tan= ，AB=15，= ，BD=12当BDE=90时，易证BDECAD，BDE=90，CAD=90，C= 且cos= ，AC=15，cosC= ，CD=BC=24，BD=24=，即当DCE 为直角三角形时，BD=12 或故正确；易证得BDE