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1、 源于名校，成就所托源于名校，成就所托 基本不等式1【基本要求】 掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单问题；掌握比较法、综合法、分析法证明不等式的 基本思路，并会用这些不等式。 【重点】 基本不等式的及其证明。 【难点】 用比较法、综合法、分析法证明简单的不等式。 【知识精要】 1、基本不等式若，当且仅当 a=b 时取等号, a bR222abab均值不等式：若 a、b 为正数，则，当且仅当时取等号2ababab变式：2 22()22ababab推广：是个正数，则称为这个正数的算术平均数，123,na a aan12naaa nn称为这个正数的几何平均数，它们的关系是：12nna aan，
2、当且仅当时等号成立。12naaa n12nna aa12naaa利用不等式求最值：（1） “积定和最小”：如果积是定值 P，那么当时，和有最abba2ababab小值；2 P（2） “和定积最大”：如果和是定值 S，那么当时，积有最22baabababab大值。21 4S2、不等式的证明 比较法比较法：要证明，只需要证明。ab0ab 分析法分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把这个不等式转化为判定 这些条件是否成立的问题，如果能够肯定这些条件都已成立，那么可以断定原不等式成立。综合法综合法：从已知条件出发，利用某些已经证明过的不等式为基础，再运用不等式的性质推 导出所要求证
3、的不等式。源于名校，成就所托源于名校，成就所托 基本不等式21、基本不等式1、已知实数判断下列不等式中哪些一定是正确的？, a b（1）； （2）； （3）； （4）abba 2abba222abba222ba ab（5）； （6） （7）21aa2ab ba222)(2baba）（2） （3） （6） （7）2、若则中值最小的是1,1,abab且22,2,2,ababab ab2 ab3、设，比较下列四个数的大小关系_0ab1ab2222,2 ,babaabb_。22222abababb4、不等式成立的充要条件是_ _2ba ab0ab 5、已知，则下列各式中正确的是（ C ）0a 0b 4
4、ab（A） （B）1 （C）2 （D）11 ab411 abab ab 6、若正数满足，则 4 ， ba,2ab22baba2 27、若，且，则的大小关系为 aRb,2,baba2, 122baab222ab8、不等式成立的充分条件是（ D ）2ababA B. aRb,a,bRC. ,且 D. ,且aRb,ba a,bRba 9、若，且，则的最大值是 ，最小值是 aRb,221abab2210、若，且，则的最大值是 a,bR2222ab21ab3 2 411、已知正数满足，则下列各式中，恒成立的是（ B ）, a b4abA B C D11 2ab111ab2ab 2211 4ab源于名校，
5、成就所托源于名校，成就所托 基本不等式312、如果，那么下列各式中正确的是（ A ）0abA B2abaabb2abaabbC D2ababab2ababab13、如果为实数，且，那么下列各式中正确的是（ B ）ba,0ab、 、 Abaab2B2ab ba、 、Cabba211Dabba22214、若 a、b 是正数，则、这四个数的大小顺序是（ C ）2abab2ab ab222abA. ab2ab2ab ab222abB.222abab2ab2ab abC. 2ab abab2ab222abD.ab2ab222ab2ab ab15、若，则有最 小 值，且值为 1 Rxxx 21216、若，
6、则的最小值为 32xxx326 22 2317、若，则的最小值是 4 Ryx,1xyyx1118、已知为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ D ）xA0122 xxB21xxC4422xxD12222xx19、下列不等式一定成立的是 （ D ）Axyyx2Bxyyx2源于名校，成就所托源于名校，成就所托 基本不等式4Cxyyx2Dxyyx220、设则的最大值是0,x 2352xx353 321、设有最值，且此最值为21,2xxRx小122、若有最值，是，此时13,3aaa小5a 423、若长方形面积为，则其周长的最小值为S4 S24、设，则的最小值为1 2x 8 21xx9 225、设，则的
7、最大值为2 20,0,12yxyx21xy3 2 426、设则的最小值是, ,a b cRbccaab abc627、代数式的最大值是21 4xxxR1 428、若，则有最 大 值，且值为 1x1322 xxx2 229、设，且，那么（ A ）1a 1b 1abab（A）有最小值 （B）有最大值ab) 12(2ab2) 12(（C）有最大值 （D）有最小值ab12 ab) 12(230、当时，有成立，且当时等号成立，则，1x 222411xxaax 0xxa 30x 131、设且，则使得不等式恒成立的实数的取值范围是,x yR4xy14kxyk9(, )432、已知不等式对一切恒成立，则的取值
8、范围是1|2| 2xaxxRa2a 33、若不等式对所有都成立，则的最小值为xykxy, x yRk234、已知由不等式启发我们可以得出推广结论：,xR221442,3,22xxxxxxx源于名校，成就所托源于名校，成就所托 基本不等式5则*1,naxnnNxa nn35、已知且，则代数式的最值为（是否有最值？最大还是最小值）,a bR0ab 22ab ab【有最小值，无最大值】36、若则的最小值为01,x49 1yxx2537、设则下列不等式中恒成立的是,4,aRbRabB 221111111224ABCabDababab38、若且，则下列代数式值最大的是12120,0,aabb12121a
9、abbA 1 122121 21 22 11 2A aba bB a abbC aba bD39、设且，求的最小值。0,0,xy21xy11 xy2232 2,212xy当时取得40、一批救灾物资随 26 辆汽车从某市以的速度直达灾区，已知两地公路长 400，为了安全/v km hkm起见，两车的间距不得小于，求这批物资全部运到灾区至少要多少小时？（不计车身长度） 220vkm2540010400v v小时2、不等式的证明1、已知，求证ba,04)11)(baba2、已知，求证1, 0, 0yxyx9)11)(11 (yx源于名校，成就所托源于名校，成就所托 基本不等式63、已知且求证： 21
10、xf xx1201,xx 21.f xf x4、设函数求证：对于任意不小于 3 的自然数都有. 221, 1xf xxn 1nf nn 2221 111nnnf nnnn5、已知求证：0,n 1221.nnn提示： 原不等式22112210nnnn6、设是房产的两个实数根，且，求实数的取值范围, 230xax| 4a( 4,2 32 3,4)a 7、已知是两个不相等的正数，且求证, a b3322,abab413ab（提示：利用）22abaabb8、已知，求证：0,0ab3322aba bb a9、已知是正数，求证：, , ,a b x y1abaxbyaybxxy10、已知求证：., ,a b cR3 2abc bccaab提示：左边=111abcabcabc abcbc ac ab abc8源于名校，成就所托源于名校，成就所托 基本不等式711、已知，且，若，求的取值范围, a bR| 1a | 11ab abb| 1b 12、已知是实数，求证：, ,a b c1abc2221 3abc3、 综合题1、已知，求的最大值。, x yR4xy22loglogxy22、已知，且，求的最小值。, , ,a b x yR1ab xyxy2abab3、求证：* 2221111 35421nN n 提示：221111 11 441414121kkk kkkk
